离散数学第五章.ppt

证明：（1）xm?xn=(xm?x)?x?…?x=(xm+1?x)?x?…?x

nn-1=….=xm+n（2）(xm)n=xm?…?xm=xm+m?xm?…xm=…=xm?n

nn-1§3半群现在学习的是第29页，共72页§3半群证明：因S,*是半群，对任意的b?S， 由*的封闭性，b*b?S，b3?S，b4?S，… 由于S是有限集，必有ij，使bi=bj 设：p=j－i，则bj=bp*bi，即：bi=bp*bi 当q≥i时，bq=bp*bq， 又因p≥1，总可以找到k≥1，使kp≥i，对S中的 bkp有bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp =b2p*(bp*bkp)=b3p*bkp=….=bkp*bkp 令a=bkp，则a*a=a。《定理》：如果半群S,*的集合S为有限集，则必有a?S，使a*a=a。现在学习的是第30页，共72页§3半群《定理》：设S,*是独异点，对于任意a，b?S，且a，b均有逆元，则a)(a-1)-1=ab)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1证明：a)因为a-1是a的逆元，即 a*a-1=a-1*a=e 所以(a-1)-1=a b)因为(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e同理可证：(b-1*a-1)*(a*b)=e 所以(a*b)-1=b-1*a-1现在学习的是第31页，共72页§4群与子群1.群的定义《定义》设S,*是一代数系统，S是非空集合，*为S上的二元运算，它满足以下四个条件时，则称S,*为群

（1）*运算是封闭的；

（2）*运算是可结合的； （3）存在幺元e；

（4）S中每一个元素均有逆元。例：I,+,Z2,+2,Z3,+3等均为群（其中Z2={0,1},Z3={0,1,2}），而N,+,I,?只是含幺半群(独异点)而不是群。现在学习的是第32页，共72页§4群与子群例：设M={0o,60o,120o,240o,300o,180o}表示平面上几何图形顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到360o时即为0o，试验证M,*是一个群。*0o60o120o180o240o300o0o0o60o120o180o240o300o60o60o120o180o240o300o0o120o120o180o240o300o0o60o180o180o240o300o0o60o120o240o240o300o0o60o120o180o300o300o0o60o120o180o240o现在学习的是第33页，共72页§4群与子群（1）运算是封闭的（2）*是可结合的（3）幺元为0o；（4）每一个元素均有逆元：(0o)-1=0o,(60o)-1=300o,(120o)-1=240o,(180o)-1=180o,(240o)-1=120o,(300o)-1=60o∴M,*是一个群。现在学习的是第34页，共72页§4群与子群《定义》设G,*是一个群，如果G是有限集合，则称G,*为有限群，并把|G|称为群的阶数，如果G为无限集合，则称G,*为无限群。

例：I,+为无限群，上例中M,*为有限群，群的阶为|M|=6。

可以概括：广群仅仅是具有一个封闭的二元运算的非空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。现在学习的是第35页，共72页§4群与子群2.群的性质

由群的定义可知:（1）群具有半群和独异点所具有的所有性质；（2）由于群中存在幺元，所以在群的运算表中一定没有相同的行（和列）.

下面以定理形式介绍群的性质现在学习的是第36页，共72页§4群与子群《定理1》若G