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【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题3.3勾股定理的简单应用
【名师点睛】
勾股定理的应用
(1)在不规则的几何图形中,通常添加辅助线得到直角三角形.
(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关
键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应
用.
(3)常见的类型:①勾股定理在几何中的应用:利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段
的长度.
②由勾股定理演变的结论:分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形,以斜边为
边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.
③勾股定理在实际问题中的应用:运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用:利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正
整数的直角三角形的斜边.
【典例剖析】
【例1】(2018秋•盱眙县期中)学过《勾股定理》后,八(1)班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的
高度.小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米(如图1),小明拉着绳子的下端往后
退,当他将绳子拉直时,小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米,到旗杆的距离CE为8米
2)
(如图.
(1)设AB长为x米,绳子为(x+1)米,AE为米(用x的代数式表示);
(2)请你求出旗杆的高度AB.
【分析】根据图形标出的长度,可以知道AB和CC的长度差值是1,以及CD=1,CE=8,从而构造直角
三角形,根据勾股定理就可求出旗杆的高度.
【解答】解:(1)设AB长为x米,则绳子长为(x+1)米,AE的长度为(x-1)米.
故答案是:(x+1);(x-1);
(2)在RtDACE中,AC=x米,
AE=(x-1)米,CE=8米,
由勾股定理可得,(x-1)2+82=(x+1)2,
解得:x=16.
答:旗杆的高度为16米.
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,表示出AE与AC长度利用勾股定理求出,善于挖掘题目的隐含
信息是解决本题的关键.
【变式1.1】(2021秋•常州期中)如图,某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离长为250m.现要为喷
泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为120m,BM的长
为150m.
(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.
【分析】(1)根据勾股定理解答即可;
(2)根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可.
【解答】解:(1)在RtDMNB中,2222,
BN=BM-MN=150-120=90(m)
\AN=AB-BN=250-90=160(m),
在RtDAMN中,2222,
AM=AN+MN=160+120=200(m)
\供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长=200+150=350(m);
(2)QAB=250m,AM=200m,BM=150m,
\AB2=BM2+AM2,
\DABM是直角三角形,
\BM^AC,
\喷泉B到小路AC的最短距离是BM=150m.
【点评】此题考查勾股定理的应用,关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答.
【变式1.2】(2020秋•新吴区期中)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长
度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地°送行二步恰竿齐,五尺板高离地¼”翻译成现代文为:
如图,秋千OA静止的时候,踏板离地高一尺(AC=1尺),将它往前推进两步(EB=10尺),此时踏板升高
离地五尺(BD=5尺),求秋千绳索(OA或OB)的长度.
【分析】设尺,表
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