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§2古典概型

2.1古典概型

2.2古典概型的应用

【素养目标】

1．古典概型的计算方法．(数学抽象)

2．运用古典概型计算概率．(数学运算)

3．在实际问题中建立古典概型模型．(数学建模)

4．能够利用互斥事件的概率公式，对立事件的概率公式求解概率问题．(数学运算)

【学法解读】

1．明确古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题．

2．注意区分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数不变)与无放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数减少)．

3．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率，体验了正难则反的思想．

必备知识·探新知

基础知识

知识点1随机事件的概率

对随机事件发生__可能性大小__的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用__P(A)__表示．

知识点2古典概型

一般地，若试验E具有以下特征：

(1)有限性：样本空间的样本点只有__有限个__；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性__相等__．

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为__古典概率__模型，简称__古典概型__．

知识点3古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝__eq\f(k,n)__＝__eq\f(n（A）,n（Ω）)__．

[知识解读](1)随机试验E中的样本点

①任何两个样本点都是互斥的；

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．

(2)求解古典概型问题的一般思路

①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；

②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；

③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．

知识点4互斥，对立事件计算公式

1．互斥事件的概率加法公式

(1)在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__，特别地，P(A)＝__1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))__．

(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝__P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)__．

2．对立事件的概率减法公式

在一次试验中，相互对立的事件A和eq\o(A,\s\up6(－))不会同时发生，并且一定有一个发生，即P(A∪eq\o(A,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)．

基础自测

1．(2022·江西省吉安市期末)掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是(B)

A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,2)

C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)

[解析]这个试验的样本空间的样本点为掷得1点、掷得2点……掷得6点，所以样本点总数n＝6(有限性)，并且每个样本点等可能发生，因此该试验模型是古典概型．设事件A表示“掷得奇数点”，则事件A表示“掷得1点，掷得3点，掷得5点”，其包含的样本点个数m＝3，所以掷得奇数点的概率P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).

2．(2021·陕西省咸阳市期末)从1，2，3，4中随机取出两个数，则其和为奇数的概率为(C)

A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)

C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)

[解析]从1，2，3，4中随机取出两个数，包含的样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，每个样本点出现的可能性相同，因此该试验模型是古典概型．

两个数的和为奇数说明这两个数一个为奇数，一个为偶数，包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，故所求概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).

3．一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994.则它不能正常使用的概率是(B)

A．0.994 B．0.006

C．0 D．1

[解析]由对立事件的概率减法公式可知，所求概率为1－0.994＝0.006.

4．(2022·河北省石家庄市期末)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(D)

A．0.9 B．0.3

C．0.6 D．0.4

[解析]设事件A表示“该射手在一次射击中不够8环”，则事件A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))表示“该射手在一次射击中不小于8环”．∵事件eq\o(A,\s\up6(－))包括射中10环，9环，8环，这三