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高考中的轨迹问题〔1〕

扬州一中曹阳

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求曲线的方程是解析几何的根本内容

常用方法有：定义法、待定系数法、直接法

〔直译法〕、代入法、参数法，必须理解各

种方法在什么情况下使用，在解题时考虑顺

序使用往往是寻求解题方法的思维程序。

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1、定义法及待定系数法

假设动点的轨迹的条件符合某一根本轨迹

的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定

义，那么可以直接根据定义求出动点的轨迹

方程。

例1、已知线段长为2，其端点、分别

在轴、轴上滑动，试求中点的轨迹方

程。

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例2、回忆练习

直角坐标平面上点和圆

，动点到圆的切线长与

的比等于常数，求动点

的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

分析：运用求曲线方程的一般方法解决问题，

其间步骤可适当简化。

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解：设，

切点设为，则

，

即，

将代入，有

整理得

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当时，方程为，为一直线；

当时，方程为

，为一个圆。

点评：本例中的是一待定的正常数，因此

在说明曲线时，一定要展开必要的讨论。

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2、直接法〔直译法〕

假设动点轨迹的几何特征，可直接通过动

点的坐标间的代数关系表示出来，这类轨迹

的方程可用直接法〔直译法〕求解。

直接法求轨迹方程的五个步骤为：

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（1）设点：建立适当的坐标系，用表

示曲线上任一点的坐标；

（2）列式：写出适合条件的点的集合

；

（3）代换：用坐标表示，列出方程

；

（4）化简：化方程为最简形式；

〔5〕证明：证明化简后的方程的解为坐标

的点都是曲线上的点。

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例3、一圆被两直线x+2y=0，x-2y=0截得

的弦长分别为8和4

点评：本例中动点的几何特征并不是直接

给定的，而是通过条件的运用从隐蔽的状

态中被挖掘出来的。

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3、相关点法〔代入法、坐标代换法〕

当互相联系着的两动点、中的一个动

点在定曲线上运动时，求另一动点

的轨迹方程时，可用相关点法。

具体做法是：

建立用表示的式子，而后

代入定曲线方程，可得的轨迹方程。

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例4、回忆练习

直线，是直线上的一

个动点，过作轴和轴的垂线，垂足

分别为，求把有向线段分成的比

的动点的轨迹方程。

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解：设，，则

分有向线段所成的比

又