北师大版必修第二册第6章3第2课时空间图形的基本事实4及等角定理课件（32张）.pptxVIP

§3空间点、直线、平面之间的位置关系

第2课时空间图形的基本事实4及等角定理;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;一、基本事实4与等角定理

【问题思考】

1.观察图6-3-6中电线杆所在直线、电线

所在直线的位置关系.

回答下列问题.

(1)在同一平面内,两直线有怎样的位置关系?

(2)图中两根电线杆所在直线具有怎样的位置关系?电线所在直线与电线杆所在直线又具有怎样的位置关系?

(3)观察一下,教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线,是什么样的位置关系?;提示:(1)平行或相交.

(2)两根电线杆所在直线互相平行,电线所在直线与电线杆所在直线相交或异面.

(3)异面直线.;;(2)空间两条直线的位置关系

表6-3-4;(3)定理(又称为等角定理)

文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

符号表示:OA∥OA,OB∥OB?∠AOB=∠AOB或∠AOB+∠AOB=180°.

作用:判断或证明两个角相等或互补.;3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于.

解析:由题意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°.根据等角定理,如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,所以∠PQR=30°或∠PQR=150°.

答案:30°或150°;二、异面直线所成的角

【问题思考】

1.如图6-3-7,已知两条异面直线a,b,如何

作出这两条异面直线所成的角?

提示:如答图6-3-5,在空间任取一点O,

过点O作直线a∥a,b∥b,则两条相交

直线a,b所成的锐角或直角θ即为两

条异面直线a,b所成的角.;2.异面直线a,b所成角的范围是什么?大小与什么有关?与点O的位置有关吗?

提示:(0°,90°];a与b所成角的大小只由a,b的相互位置确定;与点O的选择无关.;3.表6-3-5;4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与BC1所成的角的大小为.?

解析:∵BB1∥AA1,

∴∠B1BC1即为异面直线AA1与BC1所成的角,其大小为45°.

答案:45°;合作探究·释疑解惑;探究一基本事实4的应用;证明:如答图6-3-6,设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.

∵E是AA1的中点,

∴EQA1D1.

又在矩形A1B1C1D1中,A1D1B1C1,∴EQB1C1.

∴四边形EQC1B1为平行四边形.∴B1EC1Q.

又Q,F分别是边DD1,C1C的中点,∴QDC1F.

∴四边形QDFC1为平???四边形.

∴C1QDF.∴B1EDF.

∴四边形B1EDF为平行四边形.;反思感悟空间中证明两直线平行的方法:

(1)借助平面几何知识证明,如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.

(2)利用基本事实4证明,即证明两直线都与第三条直线平行.;探究二等角定理的应用;证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,

所以PN∥BC.

在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为M,N分别为A1C1,AC的中点,

所以A1MNC.

所以四边形A1NCM为平行四边形,

故A1N∥MC.

因为∠PNA1与∠BCM的两条边分别平行,且对应边方向都相同,所以∠PNA1=∠BCM.;反思感悟1.要明确等角定理中两角相等的两个条件,即两个角的两条边分别对应平行,并且方向都相同或都相反,这两个条件缺一不可.

2.空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,还可以利用平行四边形的对角相等.在利用等角定理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系.;探究三求异面直线所成的角;解:如答图6-3-7,取BD的中点M,连接EM,FM.

因为E,F分别是AB,CD的中点,;故∠EMF=2∠EMH=120°.

所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.;反思感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤:

(1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.

(2)证明:证明作出的角就是要求的角.

(3)计算:求角度,常放在三角形内求解.

(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.;一题多解;【典例】如图6-3-11,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.

分析:要求异面直线所成角的大小,关键是作出异面直线所成的角,把它归结到三角形中,通过解三角形就可以得出答案.同时在解题时要注意异面