专题3.4 垂径定理【十大题型】（举一反三）（浙教版）（原卷版）.pdf

专题3.4垂径定理【十大题型】

【浙教版】

【题型1利用垂径定理求线段长度】1

【题型2利用垂径定理求角度】2

【题型3利用垂径定理求最值】3

【题型4利用垂径定理求取值范围】4

【题型5利用垂径定理求整点】6

【题型6利用垂径定理求面积】7

【题型7垂径定理在格点中的运用】8

【题型9垂径定理与分类讨论中的综合运用】10

【题型10垂径定理的应用】11

【知识点1垂径定理及其推论】

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

【题型1利用垂径定理求线段长度】

【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于

点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（）

A．1B．3C．2D．4

【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，

则OP的长为（）

A．6B．62C．8D．82

【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝

30°，则CD的长为（）

A．5B．23C．42D．22+3+1

【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA

交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．

【题型2利用垂径定理求角度】

【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使

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OA+AB＝BC，则∠OAC的度数为（）

A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°

【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上

的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）

A．60°B．90°C．120°D．135°

【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=2．

（1）求弦AB的长；

（2）求∠CAB的度数．

【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E

为AC的中点，连接DE．

（1）若AB＝6，求DE的长；

（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．

【题型3利用垂径定理求最值】

【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的

最大值是（）

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A．B．1C．D．2

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