高考理科数学二轮总复习课后习题 考点突破练与专题检测15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题.docVIP

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考点突破练15圆锥曲线中的定点、定值、证明问题

1.(新高考Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P,证明:点P在定直线上.

2.已知抛物线(0,a2(作两条互相垂直的直线l1,l2,设l1,l2

(1)求抛物线的方程;

(2)设线段AB,CD的中点分别为E,F,O为坐标原点,求证:直线EF过定点.

3.(陕西宝鸡三模)已知椭圆E:x2a2

(1)求椭圆E的方程.

(2)设直线y=kx-1(k∈R)与椭圆E交于C,D两点,在y轴上是否存在定点Q,使得对任意实数k,直线QC,QD的斜率乘积为定值?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

4.(全国乙,理20)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B32

(1)求E的方程;

(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT=

5.(河南郑州一模)已知椭圆C:x2a2

(1)求椭圆C的方程;

(2)设不过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,点A关于原点的对称点为D,记直线l,PB,PD的斜率分别为k,k1,k2,若k1·k2=12

6.已知点A(2,3),B(-2,-3),点M与y轴的距离记为d,且点M满足MA·

(1)求曲线W的方程;

(2)设点P为x轴上除原点O外的一点,过点P作直线l1,l2,l1交曲线W于C,D两点,l2交曲线W于E,F两点,G,H分别为CD,EF的中点,过点P作x轴的垂线交GH于点N,设CD,EF,ON的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k3(k1+k2)为定值.

考点突破练15圆锥曲线中的定点、定值、证明问题

1.(1)解设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),∵c=25,e=ca=5

故双曲线C的方程为x2

(2)证明方法一:(ⅰ)当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x+4),设M(x1,y1),N(x2,y2),y10.

联立y=k(

得(k2-4)x2+8k2x+16k2+16=0,

∴x

又A1(-2,0),A2(2,0),易知x1≠-2,,直线A2N的方程分别为y=y1x

y=y2x

①÷②,得x+2x

∵点(x1,y1)在x2

∴x124-y1

∴x1+2y1=y14(x1-2)

又A1(-2,0),A2(2,0),∴直线A1M,直线A2N的方程分别为y=-23(x+2),y=23(x-2

设M(x1,y1),N(x2,y2),y10,

则y

又A1(-2,0),A2(2,0),易知x1≠-2,,直线A2N的方程分别为y=y1(x+2

联立y=y1(x+2

由y2-4,得y1-4)y2+(my2-4)y1=2my1y2-4(y1+y2)=96m4m

y2-4)y1-(my1-4)y2=-4(y1-y2), ②

把①②及y1+y2=32m4m2-1

2.(1)解∵y=2xa,由题意得2×2

∴a=4,∴抛物线的方程为(0,2),可设直线AB的方程为y=kx+2(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+2,x2=4y,得x2-4kx-8=0,则x1+x2=4k,∴y1+y2=k(x1+x2)+4=4k2

∵l1⊥l2,∴直线CD的斜率为-1k,同理可得CD的中点F(-2k,2k2+2),∴EF的方程为y-(2k2+2)=2k2

3.解(1)由题意,得b=2,e=1-b2a2

(2)设存在点Q(0,m)满足条件,记C(x1,y1),D(x2,y2).

由y=kx-1,x2+2y2=8消去y,整理得(1+2k2)x2-4kx-6=0.显然其判别式Δ0,所以x1+x

于是直线QC,QD的斜率之积为kQCkQD=y1-mx

=[1+23(m+1)-(m+1)23

上式为定值,当且仅当1+23(m+1)-(

解得m=2或m=-2.

当m=2时,kQCkQD=-(m+1)

当m=-2时,kQCkQD=-1

从而,存在定点Q(0,2)或Q(0,-2)满足条件.

4.(1)解设椭圆E的方程为m0,n0),则4n=1,94m+n=1,

(2)证明由点A(0,-2),B32,-1

由x=1,x

则点M1,-2

将y=-263代入y=23x-2,得x=3-

又MT=TH,所以点H5-26,-263,所以直线HN的方程为y-263=-263-2

由y+2=k(x-1),x23+y24=1,消去y,得(4+3k2

将y=y1代入y=23x-2,得x=32(y1+2),则点T32(y1