新教材高中数学集合与常用逻辑用语 全称量词命题与存在量词命题的否定学案含解析新人教B版必修1.docxVIP

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1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定

学习目标

1.通过生活和数学中的实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词，并能用数学符号表示含有量词的命题.

2.根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定，并判断所得命题的真假.

自主预习

问题1:你能说出这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何?

命题s:3的相反数是-3.

命题t:3的相反数不是-3.

总结:一般地，对命题p加以，就得到一个新的命题，记作“”，读作“”或“”.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个;反之亦然.?

问题2:如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定?

若记s:“存在整数是自然数”，这个命题的否定是s:;这里的命题s实际上是一个，而且可以用符号表示为s:.?

而命题s可以表述为“”，因此s是一个，可以用符号表示为.?

显然，这里的s是一个命题，而s是一个命题.?

一般地，存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题“”.?

若记s:“每一个有理数都是实数”，这个命题的否定是:，这里的命题s实际上是一个，而且可以用符号表示为s:.?

而命题s可以表述为“”，因此s是一个，可以用符号表示为.?

显然，这里的s是一个命题，而s是一个命题.?

一般地，全称量词命题“?x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题.?

课堂探究

例1写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假:

(1)p:?x∈R，x2≥-1;

(2)q:?x∈{1，2，3，4，5}，1xx

(3)s:至少有一个直角三角形不是等腰三角形.

例2写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假:

(1)p:?a∈R，一次函数y=x+a的图像经过原点;

(2)q:?x∈(-3，+∞)，x29.

变式训练:

q:?x∈[-2，3)，x29，写出q，并判断q的真假.

评价反馈

写出下列命题的否定，并判断真假:

(1)p:?x∈R，x2-x+14≥0

(2)q:所有正方形都是矩形;

(3)r:?x∈R，x2+2x+2≤0;

(4)s:至少有一个实数x，使x2-2=0.

核心素养专练

1.下列命题为真命题的是()

A.横坐标为0的点在x轴上

B.点M(-3，-5)到x轴的距离为-5

C.在平面直角坐标系内，点A(1，-4)和点B(-4，1)表示同一个点

D.若a=0，则点P(2，a)在x轴上

2.(多选题)下列命题正确的是()

A.存在x∈R，使x31

B.存在x∈Q，使x2=2

C.任意x∈N，有x3x2

D.任意x∈R，有x2+10

3.命题“?x0，x20”的否定是()

A.?x0，x2≤0 B.?x0，x2≤0

C.?x≤0，x2≤0 D.?x≤0，x2≤0

4.若命题p:?x∈R，x2+x+10，则p为()

A.?x∈R，x2+x+10

B.?x∈R，x2+x+10

C.?x∈R，x2+x+1≥0

D.?x∈R，x2+x+1≥0

5.(多选题)写出下列命题的否定，正确的是()

A.p:能被3整除的整数是奇数;p:存在一个能被3整除的整数不是奇数

B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;p:存在一个四边形的四个顶点不共圆

C.p:有的三角形为正三角形;p:所有的三角形都不是正三角形

D.p:存在x∈R，x2+2x+2≤0;p:当x2+2x+2≤0时，x∈R

6.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

A.任意一个有理数，它的平方是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是无理数

7.命题“?x∈R，x2+2x+1=0”的否定是命题.(选填“真”“假”)?

8.若“?x∈R，x2+2x-a0”是真命题，则实数a的取值范围是.?

9.命题“?x∈R，x2-2ax+10”是假命题，则实数a的取值范围是.?

10.用“?”“?”写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.

(1)p:二次函数的图像是抛物线;

(2)p:直角坐标系中，直线是一次函数的图像;

(3)p:?a，b∈R，方程ax+b=0恰有一解.

参考答案

自主预习

略

课堂探究

例1(1)p:?x∈R，x2-1，假命题;

(2)q:?x∈{1，2，3，4，5}，1x≥x，