数学分析（复旦）课件第11章 Euclid空间上的极限和连续.pptVIP

§1Euclid空间的基本定理

§2多元连续函数

§3连续函数的性质

§11.1Euclid空间上的基本定

理

二平面上的基本定理

以点X0=(x0,y0)为中心,以为半径

的圆内部点的全体称为X0的邻域

记为U(X0,),

即22

U(X0,){(x,y)|(xx0)(yy0)}

{X(x,y)|||XX0||}

记Û(X0,)=U(X0,){X0},称为X0的

去心邻域.如图

yy



X0X0

OXOX

U(X0,)Û(X0,)

当不关心邻域半径时,简记为U(X0)和Û(X0).

yy

X

0X0

OXOX

U(X0,)Û(X0,)

方形邻域{(x,y)||xx0|,|yy0|}

去心方形邻域

{(x,y)||xx0|,|yy0|,(x,y)(x0,y0)}

设E是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若

存在邻域U(X0,)E,则称X0为E

的内点.

E的全体内点所成集合称为E的内部,记为intE

比如z1x2y2的定义域D为单位圆盘,

D={(x,y)|x2+y21}如图

y

1

x2+y2=1

o1x

D

易知,圆内部的每一点都是D的内点.但

圆周上的点不是D的内点.

又如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)|x+y0}

如图

y易见,直线上方

每一点都是D的内点.

即D=intD,

x+y=0但直线上的点不是

DD

的内点.

0x

设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面

上一个点.若X0的任何邻域U(X0,)

内既有属于E的点,又有不属于E的点,

则称X0为E的边界点.

E的全体边界点所成集合称为E的边界.记作E.

如,例1中定义域D的边界是直线x+y=0

上点的全体.例2中定义域D的边界是单位圆

周x2+y2=1上的点的全体.如图

y

y1

D

D

o1x

oxx2+y2=1

x+y=0

E的边界点可以是E中的点,

也可以不是E中的点.

设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面

上一个点.若存在X0的某邻域U(X0)，



使得