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专题6三角函数的图像与性质
考情解读
1.三角函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象变换,周期及单调性是高考热点.
2.备考时应掌握y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象与性质,并熟练掌握函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)
的值域、单调性、周期性等.
重点知识梳理
1.任意角和弧度制
(1)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈
Z}.
(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
(3)弧长公式:l=|α|r,
扇形的面积公式:S=lr=|α|r2.
2.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).
(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
3.诱导公式
公式一
sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,
tan(2kπ+α)=tanα
公式二
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,
tan(π+α)=tanα
公式三
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,
tan(-α)=-tanα
公式四
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,
tan(π-α)=-tanα
公式五
sin
-α=cosα,
-α
=cosα,cos
=sinα
2
公式六
sin
+α=cosα,
+α
=cosα,cos
=-sinα
口诀
奇变偶不变,符号看象限
4.同角三角函数基本关系式
sin2α+cos2α=1,tanα=(cosα≠0).
5.正弦、余弦、正切函数的性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
{x|x≠+kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小正周期
2π
2π
π
单调性
在[-+2kπ,+2kπ](k
∈Z)上递增.
在[+2kπ,+2kπ](k
∈Z)上递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增.在[2kπ,π+
2kπ](k∈Z)上递减
在(-+kπ,+kπ)(k∈
Z)上递增
最值
当x=+2kπ,k∈Z时,
y取得最大值1.
当x=-+2kπ,k∈Z
时,y取得最小值-1
当x=2kπ,k∈Z时,
y取得最大值1.
当x=π+2kπ,k∈Z时,y取得最小值-
1
无最值
对称性
对称中心:(kπ,0)(k∈
Z).
对称轴:x=+kπ(k∈
Z)
对称中心:(+kπ,
0)(k∈Z).
对称轴:x=kπ(k∈
Z)
对称中心:(,0)(k∈Z)
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z=ωx+φ,令z=0、、π、、2π,求出x的值与相应的y的值,描点连线可得.
3
高频考点突攻
高频考点一三角函数图象及其变换
例1、【2019年高考全国Ⅰ卷】函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为
A.
B.
C.D.
【举一反三】(2018年天津卷)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函
数
A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减
【变式探究】【2017课标1,理9】已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是
4
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,
得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,
得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,
得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,
得到曲线C2
【变式探究】函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()
2x-x+
2x-
x+
C.y=2sin
2x-π
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