专题07 平面向量（解析版）.docx

专题07平面向量

题型01平面向量的线性运算

1.（2024下·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】如下图所示：

??

由可得分别为的中点，

由中线性质可得，

又，所以，

因此.

故选：B

2.（2024·广东清远·联考）如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设，，

则，

而与不共线，∴，解得，∴.

故选：A.

3.（2024下·广东江门·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，

故选：D．

??

4．（2024下·广东惠州·模拟预测）在中，是的中点，与相交于点，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】设，由是的中点，得，

由，得，

所以，且，

由与相交于点可知，点在线段上，也在线段上，

由三点共线的条件可得，解得，所以.

故选：B

5.（2024下·广东珠海·模拟）已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由题意，得，

所以，所以，

所以，所以，

解得，

所以.

故选：B

??

8．（2024下·广东肇庆·一模）在中，，，，则下列各式一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为,

所以，

所以点在线段上靠近点的三等分处，

如图所示，过点作交于点，过点作交于点，

??

则，

所以，，

所以，，

所以.

故选：B.

9.（2024下·广东河源·模拟）在中，分别是角所对的边，为边上一点．

(1)试利用“”证明：“”；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)证明见解析(2)

【详解】（1）在中，由向量的线性运算法则，可得，

两边同时点乘，可得，

所以，

两边同时约去，可得，即证毕．

（2）如图所示，设，

因为，所以，又因为，所以，，

所以，

化简得，解得或（舍去），所以，

所以的面积．

??

题型02平面向量的数量积运算

1.（2024下·广东湛江·高三一模）已知向量，均为单位向量，，若向量与向量的夹角为，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为向量，均为单位向量，，

所以，，

因为，所以，

，

所以.

故选：D.

2.（2024下·广东·番禺）在中，，，，则（）

A B.16 C. D.9

【答案】D

【解析】

【详解】由题意得在中，，

故由，，，

得，，

即，

即，

故.

故选：D

3.（2024下·广东·深圳市一模）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（）

A. B.2 C. D.

【答案】A

【解析】

【详解】在向量上的投影向量为.

.

故选：A

4.（2024下·广东·佛山禅城一模）已知与为两个不共线的单位向量，则（）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】D

5.（2024下·广东·广州市一模）（多选）已知向量不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（）

A.B.

C.向量与在上的投影向量相等D.

【答案】BC

【解析】平分与的夹角，则与不一定垂直，错，选.

对于，

在上的投影向量

在上的投影向量

对，选BC.

6.（2024·广东广州·一模）（多选）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（????）

A． B．

C．向量，在上的投影向量相等 D．

【答案】BC

【详解】作向量，在中，，，

由向量平分与的夹角，得是菱形，即，

对于A，与不一定垂直，A错误；

对于B，，即，B正确；

对于C，在上的投影向量，

在上的投影向量，C正确；

对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.

故选：BC

7.（2024下·广东·梅州市一模）已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则______.

【答案】

【解析】

【详解】由题知，又，表示两个夹角为的单位向量，

所以，

故答案为：.

8.（2024下·广东·梅州市一模）已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则__________，__________.

【答案】①.②.

【解析】

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义求出夹角余弦、数量积.

【详解】由两边平方得：，

依题意，，所以；

.

故答案为：；

题型03平面向量的坐标表示运算

1.（2024下·广东东莞·模拟）已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标.若点，的广义坐标