专题08 数列（解析版）.docx

专题08数列

题型01等差数列

1.（2024下·广东·百校联考）已知等差数列的前项和是，且，则______．

【答案】75

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.

【详解】等差数列中，，则.

故答案为：75

2.（2024下·广东·梅州市一模）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为（）

A.21 B.24 C.27 D.30

【答案】C

【解析】

【详解】令插入的3个数依次为，即成等差数列，

因此，解得，

所以插入的3个数之和为.

故选：C

3.（2024下·广东·广州市二中模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn,a4

A．2 B．3 C．?5 D．5

【答案】A

【详解】解：S19

则a10=21，又a4

所以数列公差为d=1

故选：A.

4.（2024下·广东·梅州市一模）设是等差数列，是等比数列.已知，，.

（1）求和的通项公式；

（2）数列和的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和.

【答案】15.16.3266

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据等差数列、等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解；

（2）推出数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项，结合分组求和法计算即可求解.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则，即，解得，

所以.

【小问2详解】

当数列的前50项中含有数列的前5项时，

令，得，则第26项为64，

当数列的前50项中含有数列的前6项时，

令，得，则第48项为128；

所以数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项，

故数列的前50项和为

.

5.（2024下·广东·茂名市一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）令，为数列的前项积，证明：.

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；

（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.

【小问1详解】

由是首项为、公差为的等差数列，

故，

即，

当时，，

故

，

当时，，符合上式，

故；

【小问2详解】

由，，

故，

则

，

由，

故，

则.

6.（2024下·广东·深圳市一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得、，解得，结合求得，即可证明；

（2）由（1）可得，根据累乘法可得，结合裂项相消求和法计算即可求解.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d，则，即，①

因为，所以由，得．②

由①、②解得，所以，即，

当时，，

当时，，上式也成立，所以，

所以数列是等差数列．

【小问2详解】

由（1）可知，

当时，，

因为满足上式，所以．

，

因为当时，，所以．

题型02等比数列

1.（2024下·广东·江门一模）已知是等比数列，，且，是方程两根，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.

【详解】在是等比数列，，，又，所以，

又，是方程两根，

所以.

故选：C

2.（2024下·广东·广州市一模）记为等比数列的前项和，若，则（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】，则

，选C.

3.（2024下·广东·佛山禅城一模）已知数列满足，，且．

（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，且数列的前项和为，证明：当时，．

【解析】（1）证明：因为，，

所以，所以，

因为．

所以是等比数列，首项，公比，所以．

（2）由（1）可得，先证明左边：即证明，

当时，，

所以，

所以，

再证明右边：，

因为，

所以，

即，下面证明，

即证，即证

设，，则，设，，

因为，所以函数在上单调递增，

则，即，，

所以，所以．

综上，．

4.（2024下·广东·梅州市一模）已知数列和，其中，，数列的前项和为．

（1）若，求；

（2）若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．

【答案】（1）

（2），

【解析】

【分析】（1）先判定数列和分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列的前项和．

（2）利用数列的前项和列出方程组，解之即可求得、、、，进而求得数列和的通项公式．

【小问1详解】

解：当时，，从而是等差数列，，

，所以是等比数列，

又，则，

所以．

【小问2详解】

解：是各项为正的等比数