河北省重点高中2024届高三下学期5月模拟考试数学试题（二）（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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河北省重点高中2024届高三下学期5月模拟考试

数学试题（二）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由，

当且仅当，即时，等号成立，得；

由得，即.

所以.

故选：B.

2.已知复数，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由可得，

所以，

故选：B.

3.已知圆的半径为2，弦的长为，若，则（）

A.-4 B.-2 C.2 D.4

〖答案〗B

〖解析〗如图，设的中点为，连接，则.由，

，得，

所以，，所以，

所以，所以，

所以.

故选：B.

4.已知数列满足，若，则（）

A.2 B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗因为，，

所以，，，

所以数列的周期为3.

所以.

故选:D.

5.已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由题意，令，

若恒成立，易知：当时，当时，

所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点．

设的两个零点分别为，则，

结合三次函数的图象与性质知：，

在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意，

此时需，得，所以实数的取值范围为．

故选：D.

6.已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗C

〖解析〗取，，满足，但是推不出，故排除A；

取，，满足，但是推不出，故排除B；

取，，满足，但是推不出，故排除D；

由，，可推出，即，即，故充分性成立.故选：C.

7.已知四面体满足，则点到平面的距离为（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗因为四面体满足，

可得，

设平面的一个法向量，

则，

令，解得，所以，

所以，

设点到平面的距离为，则.

故选：D.

8.在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗在长方体中，由于平面，平面，

在和中，，，

，，，

在平面，以为坐标原点，以为轴的正方向，建立平面直角坐标系，

设,则，

则由可得，化简可得，

由于，故的轨迹表示圆心在，半径为的圆在第一象限的弧长，

由于,故,因此轨迹为所对弧长，故长度为，

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.甲袋中有20个红球．10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各换出1个球，下列结论正确的是（）

A.2个球都是红球的概率为

B.2个球中恰有1个红球的概率为

C.不都是红球的概率为

D.都不是红球的概率为

〖答案〗ABC

〖解析〗记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球，

则，，

对于A选项，即求事件的概率，，所以A正确；

对于B选项，即求事件的概率，

．所以B正确，

对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件，

所以概率为，C正确；

对于D选项，即求事件的概率，，所以D错误．

故选：ABC.

10.如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（）

A.直线与所成的角为

B.的周长最小值为

C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为

D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为

〖答案〗ACD

〖解析〗A选项，连接，由于为的中点，

所以⊥，⊥，

又，平面，

所以直线⊥平面，又平面，

所以⊥，故A正确；

B选项，把沿着展开与平面同一个平面内，连接交于点，

则的最小值即为的长，

由于，，

，

，

所以，

故，的周长最小值为，B错误；

C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，

设球心为，取的中点，连接，过点作垂直于于点，

则为的中心，点在上，过点作⊥于点，

因为，所以，同理，

则，故，

设，故，

因为∽，所以，即，

解得，C正确；

D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，

设小球半径为，四个小球球心连线是棱长为的正四面体，

由C选项可知，其高为，

由C选项可知，是正四面体