河南省顶级名校联盟2024届高三上学期期中数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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河南省顶级名校联盟2024届高三上学期期中数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由集合中恰有两个元素，得，

解得．

故选：B．

2.在复平面内，复数对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

〖答案〗D

〖解析〗，故复数对应的点坐标为，

所以位于第四象限.

故选：D.

3.里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A0）的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（）（参考数据：）

A.25 B.31.6 C.250 D.316

〖答案〗D

〖解析〗由题意得，，，

从而，，

因此．

故选：D．

4.已知函数的图象关于直线，则实数a的值为（）

A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2

〖答案〗B

〖解析〗函数

，

因为函数图象关于直线对称，则，，

解得，，

则，解得．

故选：B．

5.某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（）

A.21 B.19 C.18 D.

〖答案〗A

〖解析〗根据题意，设该班有女生m人，则全班有3m人，

则全班学生数学成绩的平均数，

全班学生数学成绩方差．

故选：A．

6.玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）

A.216 B.360 C.720 D.1080

〖答案〗D

〖解析〗根据题意，如图：

分3步进行分析：

①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，

②对于上底，有4种颜色可选，则有，

③对于下底，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有种选法，

则共有种选法．

故选：D．

7.已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（）

A.2 B. C.3 D.

〖答案〗B

〖解析〗因为在内恰好有4个零点，

所以，即，

所以，又，所以，

所以，，

所以，其中．

故选：B.

8.已知过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，点Q满足，点，则的最小值为（）

A. B.2 C. D.1

〖答案〗C

〖解析〗易知直线l的斜率存在且不为零，

不妨设直线l的方程为，Ax1

联立，消去x并整理得，

因为

由韦达定理得，，①

不妨设，

因为，

所以，②

因为，

所以，③

联立②③可得，

整理得到即④

又，⑤

联立④⑤，可得，

所以的最小值即为点到直线的距离，

则最小距离，

当最小时，，解得，，

经检验，

其满足，

所以的最小值为．故选：C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列结论中正确的是（）

A. B.

C. D.当时，取得最大值

〖答案〗BCD

〖解析〗由题意，，即，，且，

A项，，错误；

B项，，正确；

C项，，正确；

D项，由已知可得，且在时加完所有正项，取得最大值，正确．

故选：BCD．

10.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为B，且，则下列结论中正确的是（）

A.椭圆的长轴长是短轴长的倍 B.线段的长度为

C.椭圆的离心率为 D.的周长为

〖答案〗BC

〖解析〗由，可设，

又，

可得，解得，即，

将的坐标代入椭圆方程，可得，

化为，即，故A错误；

，故B正确;

椭圆的离心率，故C正确;

的周长为，故D错误.

故选：BC.

11.已知函数，则（）

A.的极大值为

B.存在无数个实数，使关于的方程有且只有两个实根

C.的图象上有且仅有两点到直线的距离为

D.若关于的不等式的解集内存在正整数，则存在最大值，且最大值为

〖答案〗AD

〖解析〗由题意知：的定义域为，，

当时，；当时，；

在，上单调递减，在上单调递增；

又，；当时，；当时，；

可作出图象如下图所示，

对于A，