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运用变式教学优化学生数学认知结构的策略研究

摘?要：当下的中学数学教学常常出现教师的教与学生的学无法很好对应的现象，而这种不对应很大程度上源自教师与学生的数学认知结构之间的差异。学生想要在数学学习上达成较高的成就，往往需要构建起一个良好的数学认知结构，因此，寻找合适的教学途径优化学生数学认知结构成为数学教师亟须攻克的一大难题。变式教学作为我国数学教育中一种常见的教学方式，对学生发现问题本源并主动构建相应知识体系有很大的帮助。文章将重点分析运用变式教学优化中学生数学认知结构的可行性，并在此基础上总结优化中学生数学认知结构的有效策略，以供参考。

关键词：数学变式;数学认知结构;动点问题

中学生的数学认知结构水平具有较大差异性，主要体现在学生数学知识的广度、学生认知的层次性和逻辑性等方面。当前越来越多的数学教师尝试运用数学变式教学推动学生从问题本源出发，优化认知结构。本研究从数学变式与数学认知结构的特点入手，解析两者的内在关联，并以“线段上的动点问题”变式教学为例，分析运用变式教学优化学生数学认知结构的有效策略，希望能有助于提升学生的数学学习效果。

一、数学认知结构和变式教学概述

（一）数学认知结构的概念和特点

数学教育专家曹才翰先生对数学认知结构界定为学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。从数学认知结构的概念出发，可以发现学生的数学认知结构有着几个重要的特点。一是个体性，数学认知结构和学生心理发展水平是相辅相成的，学生的心理结构会影响其内化数学知识的组成方式，正是由于每个人的心理水平不一样，数学认知结构在学生之间存在显著的个体差异;二是结构性：学生大脑中的数学认知结构是成板块结构的，新知识内化到学习者的大脑中，学生再将知识进行自我划分和规划，形成知识之间主体与分支、内涵和外延的结构化体系。

（二）变式教学的概念和特点

上海市教育科学研究院的顾泠沅先生把变式教学分为两种：概念性变式和过程性变式。他把概念性变式定义为“在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征，目的在于使学生准确掌握概念，区分和理解事物的本质特征和非本质特征”;同时把过程性变式定义为“通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验，是一个关注学生动态的、内在的、层次性递进的过程”。

结合教学实践经验，可以发现变式教学有两个非常显著的特点：开放性和本源性。开放性体现在变式教学提供问题的主体部分，而把问题的变化方向交给学生和教师，学生可以依据自己的认知结构对问题的概念、条件、所求进行适当变形。本源性是变式教学最为核心的部分，任何的“变”都是基于“本”的基础，问题本源就像是大树的树干，而多样的变式则是树枝，任何树枝的生长都离不开树干的滋养，如果变式脱离了本源，那么最终结果就会导致学生数学认知结构的错乱。

（三）数学认知结构和变式教学的联系

从数学认知结构和变式教学的特点上看，两者存在一定的对应关系。数学认知结构具有个体性，而变式教学固有的开放性可以满足学生个体性需求，基于每个学生的现有知识结构进行合理变式，有利于教师了解学生的现有认知结构水平，并从学生的已知经验出发引导学生进行合理变式;数学认知结构还具有结构性，学生对知识结构存在一定的理解，但可能这种理解存在偏差，变式教学的本源性正好可以帮助学生厘清知识脉络，找到知识主体，并且从问题本源出发，梳理知识点的分支，构建一个更为详细而庞大的知识体系。

（四）运用变式教学优化中学生数学认知结构的可行性

何小亚认为，良好的数学认知结构包括以下四个特征：足够多的观念、稳定而又灵活的产生式、层次分明的观念网络结构、稳定的问题解决策略的观念。那么变式教学能否帮助学生达到这四个特征呢？答案是肯定的。

一方面，在变式教学中，生生之间的信息交互可以促进学生的信息共享和灵感迸发;另一方面，变式教学能帮助学生认清问题本源，理解题目演变的技巧和方法，对整个知识点的架构有更加清晰和充分的了解。而最终通过归纳通用的解题策略，可以帮助学生形成多题一解的观念，引导学生找到有效解决一类问题的有效策略。下文将以“线段上的动点问题”为例进行变式教学的阐述，分析优化中学生数学认知结构的策略。

二、课例阐述——线段上的动点问题

本研究选取浙教版七年级上册数学教材第六章“图形的初步知识”中有关线段长短比较以及线段和差的拓展知识“线段上的动点问题”进行变式教学。

原题：A、B两城市相距16千米，小林骑车以每小时3千米的速度从A市出发前往B市，小明同时步行以每小时1千米的速度从B市出发前往A市。问多少时间后小林和小明相遇？

本题意在引导学生从实际情境中抽象出数学模型“线段上的动点模型”，经由C点表示小林，D点表示小