高考理科数学二轮总复习课后习题 专题三 立体几何 考点突破练9 立体几何中的位置关系证明、翻折及探索性问题.docVIP

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考点突破练9立体几何中的位置关系证明、翻折及探索性问题

1.(河南杞县模拟预测)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,E为BC的中点,F为棱PC上一点.

(1)求证:平面AEF⊥平面PAD;

(2)若G为PD的中点,AB=AP=2,是否存在点F,使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为15?若存在,求出PF

2.(山东青岛一模)如图①,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC=CD=2,AB=4,E为AB的中点,以DE为折痕把△ADE折起,连接AB,AC,得到如图②的几何体,在图②的几何体中解答下列两个问题.

图①

图②

(1)证明:AC⊥DE;

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件,求二面角D-AE-C的余弦值.

①四棱锥A-BCDE的体积为2;

②直线AC与EB所成角的余弦值为64

3.(陕西模拟预测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BD和BB1的中点,P为棱C1D1上的动点.

(1)是否存在点P使PE⊥平面EFC?若存在,求出满足条件时C1P的长度并证明;若不存在,请说明理由.

(2)当C1P为何值时,平面BCC1B1与平面PEF所成锐二面角的正弦值最小.

4.(黑龙江哈尔滨三中二模)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别是线段AB,CD的中点,AB=4,AD=2,将矩形ABCD沿EF翻折.

图1

图2

图3

(1)若所成二面角的大小为π2(如图2),求证:直线CE⊥

(2)若所成二面角的大小为π3(如图3),点M在线段AD上,当直线BE与平面EMC所成角为π

5.(山东聊城三模)已知四边形ABCD为平行四边形,E为CD的中点,AB=4,△ADE为等边三角形,将三角形ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置,且平面APE⊥平面ABCE.

(1)求证:AP⊥BE;

(2)试判断在线段PB上是否存在点F,使得二面角F-AE-P的平面角为45°?若存在,试确定点F的位置;若不存在,请说明理由.

6.(辽宁鞍山一中模拟预测)如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=2π3,四边形ACFE为矩形,且CF⊥

(1)求证:EF⊥平面BCF;

(2)点M在线段EF(含端点)上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面BFC所成锐二面角最大?并求此时锐二面角的余弦值.

考点突破练9立体几何中的位置关系证明、翻折及探索性问题

1.(1)证明连接AC,因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC是正三角形.因为E是BC的中点,所以AE⊥BC.又AD∥BC,所以AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE,PA⊥AD.又PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又AE?平面AEF,所以平面AEF⊥平面PAD.

(2)解由(1)知直线AE,AD,AP两两垂直,以点A为坐标原点,直线AE,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PF=tPC(0≤t≤1),则A(0,0,0),E(3,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),G(0,1,1),F(3t,t,2-2t),所以AE=(3,0,0),AF=(3t,t,2-2t),EG=(-3,1,1).

设平面AEF的法向量n=(x,y,z),则n

即3

令z=t,得平面AEF的一个法向量n=(0,2t-2,t).

设EG与平面AEF所成的角为θ,则

sinθ=|cosEG,n|=|EG·n||EG||n|

2.(1)证明在题图①中,因为CD∥AB,CD=12AB,E为AB中点,所以CD∥

如图所示,取DE的中点O,连接OA,OC,则OA=OC=3,因为AD=AE=CE=CD,所以DE⊥OA,DE⊥OC,因为OA∩OC=O,所以DE⊥平面AOC,因为AC?平面AOC,所以AC⊥DE.

(2)解若选择①:因为DE⊥平面AOC,DE?平面BCDE,所以平面AOC⊥平面BCDE且交线为OC,所以过点A作AH⊥OC,则AH⊥平面BCDE,因为S菱形BCDE=23,所以四棱锥A-BCDE的体积V四棱锥A-BCDE=2=13×23·AH,所以AH=3=OA,所以AO与AH重合,所以OA⊥平面BCDE.以点O为坐标原点,以直线CO,DE,OA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(-3,0,0),E(0,1,0),A(0,0,3),平面DAE的法向量为CO=(3,0,0),设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),因为CE=(3,1,0),CA=(3,0,3

则n·CE

令x=1,则y=-3,z=-1,则n=(1,-3,-1),

设二面角D-AE-C的大小为θ