湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测

数学试题

一、单选题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，，（）

A. B. C.D.

〖答案〗C

〖解析〗解不等式，得，解得或，

则或，而，

所以.

故选：C.

2.若复数z满足则（）

A.1 B. C.2 D.

〖答案〗B

〖解析〗由得，所以，

故选：B.

3.已知，若，则等于（）

A.6 B.5 C.4 D.3

〖答案〗A

〖解析〗因为，所以，

又因为，所以，解得.

故选：A.

4.已知，，（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗因为，所以，

又，所以，

所以，故A，C，D错误.

故选：B.

5.已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗设圆锥底面圆的半径为，

则，解得，圆锥的高为，

则此圆锥体积为.

故选：B.

6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）

A. B.

C. D.

〖答案〗C

〖解析〗由于函数在上递增，故需满足，解得.

7.将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（）

A. B.

C. D.

〖答案〗C

〖解析〗由题意可得，

由于与的图象关于轴对称，所以，

令，解得，

取，则，

故选：C.

8.已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（）

A. B.方程有解

C.是偶函数 D.是偶函数

〖答案〗C

〖解析〗对于A，因为函数的定义域为，且满足，

取，得，则，

取，得，则，故错误；

对于B，取，得，则，

所以，

以上各式相加得，

所以，

令，得，此方程无解，故B错误.

对于CD，由知，

所以是偶函数，

不是偶函数，故C正确，错误.

故选：C.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.若随机变量服从标准正态分布，，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗AD

〖解析〗对于A，B,因为，所以，A正确，B错误

对于C,D由对称性有，所以，C错误，D正确,,

故选：AD.

10.已知函数，则（）

A.有两个极值点

B.有一个零点

C.点是曲线的对称中心

D.直线是曲线的切线

〖答案〗BC

〖解析〗选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误.

选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确，

选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确，

选项D：令，即，

令，则令，

则

当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等，

当时同样切线方程不为，故选项D错误.

故选：BC.

11.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（）

A.点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6

B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7

C.若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为

D.画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为

〖答案〗ABD

〖解析〗对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，

则，，

则，

当位于椭圆的下顶点时取等号，

所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；

对于B，半圆上的点到点的距离都是，

半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为，

所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；

对于C，是椭圆的两个焦点，

在△PAB中，，由余弦定理知：

，

当且仅当时取等号，

所以cos∠APB的最小值为，故C错误；

对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为，

该点在蒙日圆上，半径为

此时蒙日圆方程为：，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________．

〖答案〗