四年级奥数.几何.三角形等高模型和鸟头模型（B级）.教师版.docx

三角形等高模型和

三角形等高模型和鸟头模型

知识框架

知识框架

板块一三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；

反之，如果，则可知直线平行于．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

板块二鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在中，分别是上的点如图=1\*GB2⑴(或在的延长线上，在上)，

则

例题精讲

例题精讲

如右图，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？

【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，

于是：三角形ABC的面积

三角形EBC的面积

所以三角形EBC的面积是三角形ABC的面积的．

【答案】

如图30-5，设正方形ABCD的面积为1，E，F分别为边AB，AD的中点，FC=3GC，则阴影部分的面积是多少?

过G做AD和BC的平行线交AB于P，交CD于Q

则

则.

所以

【答案】

是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是．

【考点】三角形的等高模型【难度】4星【题型】解答

【关键词】2007年，第一届，资优杯

（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．

（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示：

则有:

同理可得：;

而,即；

同理：,,;

所以：

而；

；

所以阴影部分的面积是：

即为：．

【答案】34

在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．

【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．

（法2）连接、．

由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．

【答案】15

如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为m，n，那么△AEG的面积的值（）

A、只与m的大小有关B、只与n的大小有关

C、与m、n的大小都有关D、与m、n的大小都无关

【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】填空

连接AC，AC平行于GE。,所以。所以,即△AEG的面积的值只与n的大小有关.

【答案】B

如图30-2，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答

方法一：三角形BEF的面积，

梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，

而四边形CEFH是它们