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求函数极限的方法介绍

15601

极限理论是整个微极分学的基础,下面介绍求函数极限的方法。

一.定义法

例求

分析:可以看出,自变量x从大于和小于2的方向趋近于2,函数f(x)=2x-1

的函数值都无限接近于常数3。所以极限值是3.

解:=3

二.单侧极限法

例设函数f(x)=

解:

三.ε–δ语言法

例求极限,其中xR.

分析:当x→x时,f(x)=的函数值无限接近于。解:=

=

,则当0.即

因此,取

四。极限的四则运算法则法

解:=

五.去零法

分析:当x时,分母的极限为零(实际上,分子的极限也为零),不能直

接用商的极限

的运算法则,注意到分子与分母有公因式x-2(这是引起分子与分母当x

时极限都为零

x时,x可以约去这个不等于零的公因式,再求极限。

的原因)。而当

解:

六.分子(或分母)有理化法

x时,分子,分母的极限都为零,不能直接用商的极限的运算法则。

分析:当

但是函数x=3的去心邻域内有定义,在此范围内,可以通过分子有理化,即分子与分母都

乘以

使分子成为有理式,再求出极限值。

解:七。变量代

换法

求极限

解:令

即当x3时,u0.且x3时,u0.将u=代入函数得

由复合函数求极限的运算法则,有

八.等价无穷小替换法

例求

x→1时,sin(x-1)∽(x-1),而与它自身等价。所以

解:当

九.两边夹法(夹逼准则)

(a0)

例求

解:令有a=

有,亦即有0因为由夹逼准则,

由此得

十.单调有界法

例求极限

解:先考虑x取正整数n并且趋近于+的情形。设证明数列

单调增加并且有界,由二项式定理,有

类似的

比较与的展开式,可以看出除了前两项外,的每一项小于的对应

项,

并且还多了最后的一项,其值大于零,因此,这就说明了数列

是单调增

加的。另外,还可以看出的展开式中各项括号内的数都小于1,于是就有

故数列是有界的。所以数列的极限存在。

可以证明这个极限值为e,即

借助于以上结果.可以证明,当x取

实数且x或x时,函数极限都存在且都等于e,即

明:先证x的情况。有从而1+

由幂函数(底数大于1)严格增加,有

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