高考数学二轮总复习课后习题 (三)中低档大题规范练3.docVIP

第PAGE6页共NUMPAGES8页

规范练3

(时间:45分钟,满分:46分)

1.(10分)(浙江·18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35

(1)求sinA的值;

(2)若b=11,求△ABC的面积.

2.(12分)(福建漳州三模)据《漳州府志》记载,漳州地区在宋代就已经有布袋木偶戏了,清中叶后,布袋木偶戏开始进入兴盛时期,一直到抗日战争前,漳州的龙溪、漳浦、海澄、长泰等县,几乎乡乡都有布袋木偶戏,在传承的基础上,不断创新和发展壮大,走向更广阔的世界.为了解民众对布袋木偶戏的了解程度,某单位随机抽取了漳州地区男、女各100名市民,进行问卷调查,根据调查结果绘制出得分条形图,如图所示.

得分条形图

性别

不够了解

相对了解

合计

男

女

合计

(1)若被调查者得分低于60分,则认为是不够了解布袋木偶戏,否则认为是相对了解布袋木偶戏,根据得分条形图,完成2×2列联表,并依据α=0.1的独立性检验,分析对布袋木偶戏的了解程度是否与性别有关联;

(2)恰逢三八妇女节,该单位对参与调查问卷的女市民制定如下抽奖方案:得分低于60分的可以获得1次抽奖机会,得分不低于60分的可以获得2次抽奖机会,每次抽奖结果相互独立,在一次抽奖中,获得一个木偶纪念品的概率为13,获得两个木偶纪念品的概率为16,不获得木偶纪念品的概率为

参考公式:χ2=n

参考数据:

α

0.1

0.05

0.01

0.001

xα

2.706

3.841

6.635

10.828

3.(12分)(全国甲·理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.

(1)证明:BF⊥DE;

(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

4.(12分)(山东青岛高三期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1,an,Sn为等差数列,数列{bn}满足b1=6,bn=Sn+1a

(1)求数列{bn}的前n项和Tn;

(2)若对于?n∈N*,总有3n-

规范练3

1.解(1)∵cosC=35且0Cπ,∴sinC=4

又∵4a=5c,∴ac

由正弦定理得asinA=csinC

∴sinA=54×sinC=5

(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcosC,

c2=112+54c2-2×54c×11×35

c2=112+516c2-33

即1116c2+33510c-112=0,整理得5c2

解得c=-245+64

∴a=54×45

∴S△ABC=12absinC=12×5×11×

2.解(1)2×2列联表如下:

性别

不够了解

相对了解

合计

男

35

65

100

女

25

75

100

合计

60

140

200

零假设为H0:对布袋木偶戏的了解程度与性别无关联.

根据列联表中的数据,可以求得χ2=200×(35×75-

根据α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为对布袋木偶戏的了解程度与性别无关联.

(2)在这100名女市民中任选一人,得分低于60分的概率为25100=1

P(X=0)=14

P(X=1)=14×1

P(X=2)=14×1

P(X=3)=2×34

P(X=4)=34

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

5

1

1

1

1

故数学期望E(X)=0×516+1×13+2×14+3×1

3.解∵四边形AA1B1B为正方形,∴A1B1⊥BB1.

又BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,

∴A1B1⊥平面BB1C1C.

又AB∥A1B1,

∴AB⊥平面BB1C1C.∴AB⊥BC.

又BB1⊥平面ABC,

∴AB,BC,BB1两两互相垂直.

以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

则点B(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),得BF=(0,2,1),EF=(-1,1,1).

设点D(λ,0,2)(0≤λ≤2),则DE=(1-λ,1,-2).

(1)证明:∵BF·

∴BF⊥DE,∴BF

(2)∵AB⊥平面BB1C1C,

∴n=(1,0,0)为平面BB1C1C的一个法向量.

设平面DFE的一个法向量为m=(x,y,z),

则m

取=(3,1+λ,2-λ)为平面DFE的一个法向量.

∴cosm,n=m·

设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的平面角为θ,则sinθ=1-

要使sinθ最小,只需92λ2-2λ+14最大,又0≤λ≤2,∴当λ=1

故当B1D=12时,平面BB1C1

4.解(1)因为a1,an,Sn为等差数列,

所以2a