第38讲　直线的方程及位置关系.docx

第八章解析几何

第38讲直线的方程及位置关系

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激活思维

1．(人A选必一P54例1改)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(D)

A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2

【解析】由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.

2．(人A选必一P57T1改)已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(A)

A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0

【解析】由题意可得直线l的斜率k＝－eq\f(3,2)，所以l：y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.

3．(人A选必一P77T3改)已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(C)

A．eq\r(2)B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1

【解析】由题意知eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，a＞0，解得a＝eq\r(2)－1.

4．(人A选必一P72T3改)已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是(A)

A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0

C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0

【解析】经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0，将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0.

5．(人A选必一P61例2改)(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是(AB)

A．2 B．－1

C．－2 D．1

【解析】因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.

聚焦知识

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__向上方向__之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围是__[0，π)__．

2．斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝__tanα__．

(2)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝__eq\f(y2－y1,x2－x1)__．

3．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

__y－y0＝k(x－x0)__

不含直线x＝x0

斜截式

__y＝kx＋b__

不含垂直于x轴的直线

两点式

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)

不含直线x＝x1和直线y＝y1

截距式

eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

__Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)__

平面直角坐标系内的直线都适用

4．两条直线平行与垂直的判定

(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?__k1＝k2__．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．

(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?__k1·k2＝－1__．特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．

5．三个距离公式

(1)点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝__eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)__．

(2)点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))__．

(3)线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝__eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))__．

6．常用结论

(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．

(2)“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．

研题型能力养成

举题说法

直线的方程

例1(1)已知直线l