2024届东北三省四市教研联合体高考二模数学试题.doc

2023届东北三省四市教研联合体高考二模数学试题

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

2．如图，正四面体的体积为，底面积为，是高的中点，过的平面与棱、、分别交于、、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（）

A．， B．，

C．， D．，

3．设，则（）

A． B． C． D．

4．集合中含有的元素个数为（）

A．4 B．6 C．8 D．12

5．若实数、满足，则的最小值是（）

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）

A． B． C． D．

7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）

A． B．2 C．3 D．

8．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（）

A． B．

C． D．

9．三棱锥的各个顶点都在求的表面上，且是等边三角形，底面，，，若点在线段上，且，则过点的平面截球所得截面的最小面积为（）

A． B． C． D．

10．已知数列为等差数列，且，则的值为（）

A． B． C． D．

11．已知向量，，则向量在向量上的投影是（）

A． B． C． D．

12．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（）

A．2 B．2 C．4 D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的一次函数与轴的交点为，且互不相等，则称为关于函数的平均数，记为.当_________时，为的几何平均数.（只需写出一个符合要求的函数即可）

14．已知向量，，，则_________.

15．已知集合，，则__________．

16．已知函数，则函数的极大值为___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在三棱锥S-ABC中，∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D为棱AB的中点，SA=2

(I)证明：SD⊥BC；

(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.

18．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，

（1）求的值与抛物线的方程；

（2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围.

19．（12分）已知函数，.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）判断函数的零点个数.

20．（12分）已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？

（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，则是否存在直线m，使得？若存在，求出直线m斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.

21．（12分）设函数，

（1）当，，求不等式的解集；

（2）已知，，的最小值为1，求证：.

22．（10分）已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D

【解析】

求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.

【详解】

设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，

则=2，化简得.

∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，

∴，解得，

∴椭圆的离心率为．

故选D．

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．

2．A

【解析】

设，取与重合时的情况，计算出以及的值，利用排除法可得出正确选项.

【详解】

如图所示，利用排除法，取与重合时的情况.

不妨设，延长到，使得．

，，，，则，

由余弦定理得，