数学分析（4版）-华东师范大学第11章反常积分.pptVIP

证由于非负函数无穷积分的收敛判别法设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例3推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且非负函数无穷积分的收敛判别法证即非负函数无穷积分的收敛判别法非负函数无穷积分的收敛判别法推论2设f是定义在上的非负函数,在任何有限非负函数无穷积分的收敛判别法推论3间[a,u]上可积.设f是定义在上的非负函数,在任何有限区说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.非负函数无穷积分的收敛判别法例4讨论的收敛性(k0).解(i)非负函数无穷积分的收敛判别法性质3（绝对收敛的无穷积分必收敛）若无穷积分可以用前面的性质3来判别一般无穷积分的收敛性.一般函数无穷积分的判别法何有限区间[a,u]上可积,且若f在任一般函数无穷积分的收敛判别法收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于一般函数无穷积分的收敛判别法定理11.3（狄利克雷判别法）一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.证一般函数无穷积分的收敛判别法因此,由柯西准则，一般函数无穷积分的收敛判别法定理11.4（阿贝尔判别法）证[证法1]一般函数无穷积分的收敛判别法由柯西准则,[证法2]一般函数无穷积分的收敛判别法由狄利克雷判别法收敛,一般函数无穷积分的收敛判别法所以因此由狄利克雷判别法推知另一方面，一般函数无穷积分的收敛判别法例6的收敛性.收敛.解数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§1反常积分概念反常积分的背景两类反常积分的定义复习思考题数学分析第十一章反常积分高等教育出版社数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的收敛判别法复习思考题数学分析第十一章反常积分高等教育出版社数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§3瑕积分的性质与收敛判别一、反常积分的背景反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分，是定积分概念的推广.§1反常积分概念数学分析第十一章反常积分二、两类反常积分的定义*点击以上标题可直接前往对应内容反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件：但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火的有穷性;上的“积分”或无界函数的“积分”.箭,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大？积分区间被积函数的有界性.后退前进目录退出反常积分的背景解设地球半径为R,火箭质量为m,按万有引力定理,在距地心力加速度为g,地面上的重于是火箭从地面上升到距地心为处需作功反常积分的背景处火箭所受的引力为作的功．其极限mgR就是火箭无限远离地球需于是自然把这一极限写作上限为由机械能守恒定律初速度至少应使例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有在时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,解桶内水位高度为时,一半径为r的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间？之间应满足流出水的速度为它们因此反常积分的背景于是流完一桶水所需时间形式上为但由于被积函数是上的无界函数,所以它的确切含义为反常积分的背景定义1两类反常积分的定义[a,u]上可积.则称此极限J为函数f在上的无穷限反设函数f定义在[a,+?)上,且在任何有限区间常积分(简称无穷积分),两类反常积分的定义若存在极限记作类似定义两类反常积分的定义注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值与a的选取无关.注2无穷积分(3)是有无穷积分(1)和(2)定义的，因此f在任何有限区间上必须是可积的.定义2设函数f定义在(a,b]上,在a的任意右邻域内无界,如果存在极限则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分,记作通常称a为f的瑕点.但在任何内闭区间上有界且可积.其中f在[a,b)有定义,