五年级奥数.应用题.列不定方程解应用题（ABC级）.教师版.docx

列不定方程解应用题

列不定方程解应用题

巧求周长

发现不同

知识框架

知识框架

知识点说明

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题．

重难点

重难点

根据题目叙述找到等量关系列出方程

根据解不定方程方法解方程

找到符合条件的解

例题精讲

例题精讲

不定方程与数论

把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数．

【考点】列不定方程解应用题

这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为和，则有：，要让取最小值，取最大值．

可把式子变形为：，可见是整数，满足这一条件的最小为7，且当时，．

则拆成的两个数分别是和．

【答案】则拆成的两个数分别是和．

甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是的倍数，两人共搬了块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？

【考点】列不定方程解应用题

设甲搬的是块，乙搬的是块．那么．观察发现和都是的倍数，所以也是的倍数．由于，所以只能为6或12．

时，得到；

时，此时不是整数，矛盾．

所以甲搬了块，乙搬了块，甲比乙搬得多，多块．

【答案】甲比乙搬得多，多块

用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的倍，则满足条件的所有自然数之和为（）.

【考点】列不定方程解应用题

若是四位数，则，矛盾，四位以上的自然数也不可能．

若是两位数，则，也不可能，故只有三位数.

，化简得.由于，

所以或.时，，，或，；时，，.

所以所有自然数之和为.

【答案】所有满足条件的自然数之和为

求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和．

三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量．

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z．由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以x、y、z的平方和小于等于10.

从而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3．所求三位数必在以下数中：

100，101，102，103，110，111，112，

120，121，122，130，200，201，202，

211，212，220，221，300，301，310．

不难验证只有100，101两个数符合要求．

【答案】100,101

不定方程与应用题

有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？

【考点】列不定方程解应用题

设有大油桶个，小油桶个．由题意得：

可知，所以．由于、必须为整数，所以相应的将的所有可能值代入方程，可得时，这一组整数解．

所以大油桶有个，小油桶有个．

小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.

【答案】大油桶有个，小油桶有个

现有足够多的角和角的邮票，用来付元的邮资，问角的邮票需要多少张？

【考点】列不定方程解应用题

设角和角的邮票分别有张和张，那么就有等量关系：．

尝试的取值，当取时，能取得整数，当再增大，取大于等于的数时，没有自然数解．所以角的邮票需要张．

【答案】角的邮票需要张

甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是()．

A．abB．abC．a=bD．与a和b的大小无关

【考点】列不定方程解应用题

可根据题意算出买进和卖出鱼所花钱的总数，买进一共花了（3a+2b）元，一共卖了×5元，前者大于后者，即可推导出ab．

【答案】答案A

给出四个自然数a，b、c、d，其中每三个数之和分别是180、197、208、222，则a，b、c、d中最大的数是（）．

【考点】列不定方程解应用题

较繁的一般解法是解关于a，b、c、d的四元一次方程组．由题意知a，b、c、d互不相等，不妨设abcd，则a+b+c=180，a+b+d=197