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高级中学名校试卷
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浙江省“数海漫游”2024届高三下学期第二次模拟考试
数学试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,则()
A.0 B. C.1 D.
〖答案〗C
〖解析〗因为,所以,
所以,
所以,
所以.
故选:C.
2.已知,则的面积是()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗由余弦定理得,
因为,所以,
可得.
故选:D.
3.记Sn为非零数列an的前项和,若,则()
A.2 B.4 C.8 D.16
〖答案〗B
〖解析〗,则.即.
,,.
故.
故选:B.
4.设点在正四面体的棱AB上,AB与平面所成角为,则()
A.4 B.10 C.14 D.20
〖答案〗B
〖解析〗取的中点的中点,连接,过作于,
因为四面体为正四面体,所以,
因为,平面,
所以平面,
因为平面,所以,
因为,平面,
所以平面,所以(或其补角)为与平面所成角,
所以,则,
设正四面体的棱长为2,则,
所以,
所以为锐角,所以,
所以
,
在中,,
则,
在中,,则,
所以,解得,
所以,
所以
.
故选:B.
5.已知向量均为单位向量,则的最小值是()
A.1 B.2 C. D.
〖答案〗C
〖解析〗由向量均为单位向量,
设向量的夹角为,
由,则,
所以
设,
令,
则,
令,则,所以在单调递增,
令,则,所以在单调递减,
所以的最小值为,
所以的最小值为.
故选:C.
6.小明开始了自己的存钱计划:起初存钱罐中没有钱,小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元,.若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列,则小明在第2天存入了100元概率是()
A. B.15 C. D.
〖答案〗A
〖解析〗余额恰好成等差数列,
即,
其中第天存入元的是,
故所求概率为.
故选:A.
7.设椭圆的弦AB与轴,轴分别交于两点,,若直线AB的斜率,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
〖答案〗C
〖解析〗如图所示,设,
直线,
因为,所以,
所以,
即,,所以.
因为在椭圆上,所以,
两式相减得,即.
又因为,且,,
所以,即,
所以.
故选:C.
8.称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点,记为集合包含的好整点的个数.若,则正整数的最小值是()
A.1976 B.1977 C. D.
〖答案〗B
〖解析〗一方面:由题意,,使得不等式恒成立,
注意到
,
等号成立当且仅当,即,
所以正整数应该满足,
另一方面:当时,
我们证明:成立,
证明过程如下:
注意到,
所以,
,记,则,,
,
即成立,
综合以上两方面,可知正整数的最小值是1977.
故选:B.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设双曲线与直线交于与两点,则可能有()
A. B.
C. D.
〖答案〗ACD
〖解析〗联立方程组,可得,
因为双曲线与直线有两个交点,所以,
所以,B错误;
当时,,A正确;
当m0时,,C正确;
当或时,,D正确.
故选:ACD.
10.若无穷数列由唯一确定,称递推公式是专一的.则下列递推公式中专一的有()
A. B.
C. D.
〖答案〗AC
〖解析〗对于选项A:因为,可得,
所以递推公式是专一的,故A正确;
对于选项B:因为,
令,可得,即,解得或,
所以推公式不是专一的,故B错误;
对于选项C:因为,可得,
令,可得,可得,
且,可得,即,
可知数列是以2为周期的周期函数,且,
则,所以递推公式是专一的,故C正确;
对于选项D:因为,
由可得:,则,
由可得,解得或,
所以推公式不是专一的,故D错误;
故选:AC.
11.设一组样本数据满足,则()
A.拿走,这组数据的方差变大
B.拿走,这组数据的方差变大
C.拿走,这组数据的方差减小
D.拿走,这组数据的方差减小
〖答案〗AD
〖解析〗熟知对一组数据,其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差,即.
将拿走前后的方差分别记为.
对于A,给五个元素同时加上或减去同一个数,不影响方差,所以可以适当平移,使得剩下的4个元素:的平均值为0,
不妨设,则,,
所以.
故
,
所以A正确;
对于B,考虑,则,,所以B错误;
对于C,考虑,则,,所以C错误;
对于D,由于这
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