浙江省“数海漫游”2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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浙江省“数海漫游”2024届高三下学期第二次模拟考试

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知，则（）

A.0 B. C.1 D.

〖答案〗C

〖解析〗因为，所以,

所以,

所以,

所以.

故选：C.

2.已知，则的面积是（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由余弦定理得，

因为，所以，

可得.

故选：D.

3.记Sn为非零数列an的前项和，若，则（）

A.2 B.4 C.8 D.16

〖答案〗B

〖解析〗，则.即.

,，.

故.

故选：B.

4.设点在正四面体的棱AB上，AB与平面所成角为，则（）

A.4 B.10 C.14 D.20

〖答案〗B

〖解析〗取的中点的中点，连接，过作于，

因为四面体为正四面体，所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

因为，平面，

所以平面，所以（或其补角）为与平面所成角，

所以，则，

设正四面体的棱长为2，则,

所以，

所以为锐角，所以，

所以

，

在中，，

则，

在中，，则，

所以，解得，

所以,

所以

.

故选：B.

5.已知向量均为单位向量，则的最小值是（）

A.1 B.2 C. D.

〖答案〗C

〖解析〗由向量均为单位向量，

设向量的夹角为，

由，则，

所以

设，

令，

则，

令，则，所以在单调递增，

令，则，所以在单调递减，

所以的最小值为，

所以的最小值为.

故选：C.

6.小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（）

A. B.15 C. D.

〖答案〗A

〖解析〗余额恰好成等差数列，

即，

其中第天存入元的是，

故所求概率为.

故选：A.

7.设椭圆的弦AB与轴，轴分别交于两点，，若直线AB的斜率，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗C

〖解析〗如图所示，设，

直线，

因为，所以，

所以，

即，，所以.

因为在椭圆上，所以，

两式相减得，即.

又因为，且，，

所以，即，

所以.

故选：C.

8.称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（）

A.1976 B.1977 C. D.

〖答案〗B

〖解析〗一方面：由题意，，使得不等式恒成立，

注意到

，

等号成立当且仅当，即，

所以正整数应该满足，

另一方面：当时，

我们证明：成立，

证明过程如下：

注意到，

所以，

，记，则，，

，

即成立，

综合以上两方面，可知正整数的最小值是1977.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.设双曲线与直线交于与两点，则可能有（）

A. B.

C. D.

〖答案〗ACD

〖解析〗联立方程组，可得，

因为双曲线与直线有两个交点，所以，

所以，B错误；

当时，，A正确；

当m0时，，C正确；

当或时，，D正确.

故选：ACD.

10.若无穷数列由唯一确定，称递推公式是专一的．则下列递推公式中专一的有（）

A. B.

C. D.

〖答案〗AC

〖解析〗对于选项A：因为，可得，

所以递推公式是专一的，故A正确；

对于选项B：因为，

令，可得，即，解得或，

所以推公式不是专一的，故B错误；

对于选项C：因为，可得，

令，可得，可得，

且，可得，即，

可知数列是以2为周期的周期函数，且，

则，所以递推公式是专一的，故C正确；

对于选项D：因为，

由可得：，则，

由可得，解得或，

所以推公式不是专一的，故D错误；

故选：AC.

11.设一组样本数据满足，则（）

A.拿走，这组数据的方差变大

B.拿走，这组数据的方差变大

C.拿走，这组数据的方差减小

D.拿走，这组数据的方差减小

〖答案〗AD

〖解析〗熟知对一组数据，其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差，即.

将拿走前后的方差分别记为.

对于A，给五个元素同时加上或减去同一个数，不影响方差，所以可以适当平移，使得剩下的4个元素：的平均值为0，

不妨设，则，，

所以.

故

，

所以A正确；

对于B，考虑，则，，所以B错误；

对于C，考虑，则，，所以C错误；

对于D，由于这