第49讲　二项式定理及其应用.docx

第49讲二项式定理及其应用

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1．(人A选必三P31T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(C)

A．－Ceq\o\al(6,10) B．Ceq\o\al(6,10)

C．－Ceq\o\al(5,10) D．Ceq\o\al(5,10)

【解析】由题得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10-r(－1)r(r＝0，1，2，…，10)，令r＝5，得T6＝Ceq\o\al(5,10)x5(－1)5＝－Ceq\o\al(5,10)x5，所以(x－1)10的展开式的第6项的系数是－Ceq\o\al(5,10).

2．(人A必选三P34T1(2))若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝(C)

A．4 B．5

C．6 D．7

【解析】二项式(x＋1)n的展开式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xr，令r＝2，得x2的系数是Ceq\o\al(2,n).因为x2的系数为15，所以Ceq\o\al(2,n)＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5.因为n∈N*，所以n＝6.

3．(1－2x)(x＋2)3的各项系数和为(A)

A．－27 B．27

C．16 D．－16

【解析】(1－2x)(x＋2)3＝－2x4－11x3－18x2－4x＋8，各项系数和为－2－11－18－4＋8＝－27.

4．(人A选必三P38T9改)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(D)

A．74 B．121

C．－74 D．－121

【解析】因为在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8中，含x3的项为(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,8))(－x)3，所以含x3的项的系数是－(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,8))＝－(10＋20＋35＋56)＝－121.

5．(人A选必三P31T5)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是__－15__．

【解析】在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中含x4的项即从5个因式中取4个x，1个常数，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4.所以展开式中，含x4的项的系数是－15.

聚焦知识

1．二项式定理

二项式定理

(a＋b)n＝__Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an-1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn__(n∈N*)

二项展开式的通项公式

Tk＋1＝__Ceq\o\al(k,n)an－kbk__，它表示第__k＋1__项

二项式系数

展开式中各项的二项式系数为Ceq\o\al(k,n)(k∈{0，1，2，…，n})

2．二项式系数的性质

(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1，Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m-1,n)＋Ceq\o\al(m,n)__，Ceq\o\al(m,n)＝__Ceq\o\al(n－m,n)__(0≤m≤n).

(2)二项式系数先增后减中间项最大．

当n为偶数时，第eq\f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第eq\f(n＋1,2)项和第eq\f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为和.

(3)各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝__2n__，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝__2n-1__．

研题型能力养成

举题说法

(a＋b)n的展开式中的特定项

例1(2023·无锡期末)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式中第5项为常数项，则该常数项为__60__(用数字表示)．

【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(