浙江省2024届第一届启航杯联考数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

PAGE

PAGE1

浙江省2024届第一届启航杯联考数学试题

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.已知集合，则的元素数量是（）

A.2 B.3 C.4 D.5

〖答案〗D

〖解析〗由于，故，又，故，有5个元素，

故选：D.

2.已知，则（）

A.1 B. C.2 D.

〖答案〗B

〖解析〗由题得，

则，

答选：B.

3.椭圆的左右焦点分别为为上一点，则当的面积最大时，的取值为（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗由题意知，，设，

则，

由，得时面积最大，此时，

而此时，故，

所以.

故选：A.

4.已知边长为6正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（）

A.96π B.100π C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由对称性，球心与正方体重心重合，且每个面的交线半径为4.

连球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，

再连交线圆上一点与球心（即为球半径），由勾股定理得球的半径为5，

则表面积为.

故选：B.

5.已知的二项式系数之和为64，则的展开式中常数项为（）

A.1 B.6 C.15 D.20

〖答案〗C

〖解析〗由二项式系数的组合意义，，得，

则中常数项.

故选：C.

6.已知对恒成立，则的最大值为（）

A.0 B. C.e D.1

〖答案〗D

〖解析〗由，得，

所以对恒成立，

令，则在上单调递增，

由，得，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，即，

令，

则在上单调递增，

由，得，

所以当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，所以，

所以的最大值为1.

故选：D.

7.已知且，则的值为（）

A. B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗平方得，令，

则，

不妨取，则，

，

故选：C.

8.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量表示每掷次硬币中正面向上的次数，现以使最大的值估计的取值并计算.(若有多个使最大，则取其中的最小值).下列说法正确的是（）

A. B.

C. D.与10的大小无法确定

〖答案〗B

〖解析〗由题，服从二项分布，则，

最大即为满足的最小，

即为，

又，故为整数时，不为整数时为大于的最小整数，

而，当为整数时显然成立，

当不为整数时大于的最小整数为的整数部分，其小于，

故，答选：B.

9.如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，为靠近的四等分点，为线段MG上一动点，则（）

A.三棱锥的体积为定值

B.

C.HD的最小值为

D.若，则

〖答案〗AC

〖解析〗对于A，取中点为，连中点为，连，

则易得且，故为平行四边形，，

又GM为中位线，故，故，

又平面平面，故平面，

其上任意一点到平面的距离相等，故三棱锥体积为定值，A正确，

对于B，由题，，而，

故，B错误，

对于C，当时HD最小，在平面内以为原点，DB为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系，

则到GM的距离为，经验证此时在线段GM上，C正确，

对于D，当与重合时，，则，取明显错误，故D错误.

故选：AC.

10.设定义域为的单调递增函数满足，且，则下列说法正确的是（）

A.当时，

B.

C.不等式的解集为

D.若使得时，恒成立，则的最小值为2

〖答案〗ACD

〖解析〗当时，根据题意可得，

累加可得，A说法正确；

，

因为单调递增，所以，

所以，B说法错误，

由函数单调递增可得，解得，C说法正确，

由时和单调递增可得，

当时，，取即可，

另一方面，同理有，则时，，

而当时右式在时趋于，故不存在满足条件，D说法正确

故选：ACD.

11.数学有时候也能很可爱，如题图所示是小D同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（）

A.该曲线与最多存在3个交点

B.如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，则

C.存在一个，使得这条曲线是偶函数的图像

D.时，该曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数

〖答案〗ABC

〖解析〗A项，曲线方程，

令，得关于的一元三次方程，

令，则，

最多两根，即函数最多两个极值点，

即方程最多有三个实根，故A正确；

B项，若曲线如题图所示，则存在，使得与曲线图象有三个交点，

即存在，关于的方程有三个实根.

令，则，

假设，，都有，即单调递增，