高考文科数学二轮总复习课后习题 专题六 函数与导数 考点突破练19 利用导数证明问题.docVIP

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考点突破练19利用导数证明问题

1.(陕西咸阳一模)已知函数f(x)=ln(x2

(1)当a1时,讨论函数f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性;

(2)当a=1时,证明:f(x)-x+1e

2.(河南新乡二模)已知函数f(x)=ex-(x+1)2.

(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)对于任意x1,x2,证明:若x1x2,则f(x1)-f(x2)2x2-2x1.

3.已知函数f(x)=2x+ax

(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;

(2)若a≥4,证明:f(x)0.

4.(河南开封二模)已知函数f(x)=lnx-ax(a0).

(1)当a=2时,求f(x)在x=1处的切线方程;

(2)若对任意的x0,有f(x)≤b+a(b∈R),证明:b≥-2a.

5.(山东济南一模)设函数f(x)=ae2x-2ex+2.

(1)若f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围;

(2)若函数g(x)=12ae2x+(a-2)ex-2e-x有两个极值点x1,x2,证明:g(x

6.(河南焦作一模)已知函数f(x)=(20.

(1)讨论函数g(≥1,证明:当x0时,g(x)≥f(x).

考点突破练19利用导数证明问题

1.(1)解f(x)=2x2x

设g(x)=(1-a2)x2+2x+1-a2.

∵a1,∴函数g(x)的图象是开口向下的抛物线.

又∵Δ=4-4(1-a2)2=4a2(2-a2).

①当a≥2时,Δ≤0,

又∵1-a20,∴g(x)≤0,即f(x)≤0,

因此f(x)在(-1,+∞)上单调递减.

②当1a2时,Δ0,g(x)=0有两个不等实根,设两个根为x1,x2,且x1x2,x1+x2=-21-a20,x

可知x10,x20,解g(x)=0得x1=-1-a2-a21-a2,x2=-1+a2-a

(2)证明要证明f(x)-x+1ex≥0,即证明f(x)≥

当a=1时,由(1)可知,函数f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)的最小值为f(0)=1.

设h(x)=x+1ex(x-1),∴h(x)=

因此,当x∈(-1,0)时,h(x)0,h(x)在区间(-1,0)上单调递增,当x∈(0,+∞)时,h(x)0,h(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以h(x)的最大值为h(0)=1,因此对任意x∈(-1,+∞),总有f(x)≥h(x),故f(x)-x+1

2.(1)解f(x)=ex-2x-2,所以k=f(-1)=1e

因为f(-1)=1e,所以切点坐标为-

所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-1e

所以切线与坐标轴的交点坐标为(-2,0)和0,

则所求的三角形面积为12×2×2

(2)证明设G(x)=f(x)+2x=ex-x2-1,则G(x)=ex-2x.

令H(x)=ex-2x,则H(x)=ex-2,

则H(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,

故H(x)≥H(ln2)=2-2ln20,即G(x)=ex-2x0,

所以G(x)在R上单调递增,

所以对于任意x1,x2,若x1x2,则G(x1)G(x2),

即f(x1)-f(x2)2x2-2x1.

3.(1)解当a=1时,f(x)=2x+1x

所以f(x)=2-1x

由f(x)0,得x1;由f(x)0,得0x1,

所以f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).

(2)证明设g(x)=lnx-x+1,则g(x)=1x-1=1

由g(x)0,得0x1;由g(x)0,得x1.

所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

故g(x)≤g(1)=0,即lnx≤x-1,

即-lnx≥-x+1, ①

当且仅当x=1时,等号成立.

要证f(x)≥0,即2x+ax-lnx-5≥0,只需证x+ax-4≥0.因为a≥4,x0,所以x+ax

所以x+ax-4≥0,

当且仅当x=2时,等号成立.

因为①②取得等号的条件不同,所以当a≥4时,f(x)0.

4.(1)解当a=2时,f(x)=lnx-2x,f(1)=-2,求导得f(x)=1x

(2)证明?x0,f(x)≤b+a?b≥lnx-ax-a.

令g(x)=lnx-ax-a,x0,

求导得g(x)=1x-a,而a0,则当0x1a时,g(x)0,当x

因此,g(x)在0,1a上单调递增,在1a,

于是得b≥-lna-a-1,则b+2a≥-lna+a-1.

令h(a)=-lna+a-1,a0,h(a)=-1a

则当0a1时,h(a)0,当a1时,h(a)0,

因此h(a)在(0,1)上单调递减,在(1,