苏教版高中数学必修第二册课后习题 第9章 平面向量 9.3.1 平面向量基本定理.docVIP

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9.3向量基本定理及坐标表示

9.3.1平面向量基本定理

A级必备知识基础练

1.在△ABC中,点D在BC边上,且BD=2DC,设AB=a,AC=b,则AD可用基底a,b表示为()

A.12(a+b) B.23a+

C.13a+23b D.

2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列说法正确的是()

A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0

B.对空间任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R

C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内

D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对

3.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()

A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4

4.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为.?

5.设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.

(1)证明:a,b可以作为一组基底;

(2)以a,b为基底表示向量c=3e1-e2.

B级关键能力提升练

6.如图,在△ABC中,AD=13AC,BP=23BD,若

A.32 B.2

C.3 D.1

7.若OP1=a,OP2=b,P1P=λ

A.a+λb B.λa+(1-λ)b

C.λa+b D.11+λa+λ

8.如图,AB是☉O的直径,C,D是半圆弧AB的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于()

A.a-12b B.1

C.a+12b D.1

9.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP

A.m0,n0 B.m0,n0

C.m0,n0 D.m0,n0

10.(多选题)已知菱形ABCD边长为1,∠BAD=60°,E是BC中点,F是DE中点,M是AB中点,延长AF交CD于点N(如图所示),设AB=a,AD=b,则下列结论正确的是()

A.AF=12a+3

C.AF·DB=-18 D.

11.△ABC中,D为AC上的一点,满足AD=13DC.若P为BD上的一点,满足AP=mAB+nAC(m0,n0),则mn的最大值为,

12.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=λ

13.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23

(1)用a,b表示AD,

(2)求证:B,E,F三点共线.

C级学科素养创新练

14.如图所示,在?ABCD中,AB=a,AD=b,BM=23BC,AN=1

(1)试用向量a,b来表示DN,

(2)求AO∶OM的值.

15.在△ABC中,AM=

(1)求△ABM与△ABC的面积之比;

(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,y

参考答案

9.3向量基本定理及坐标表示

9.3.1平面向量基本定理

1.CAD=AB+BD=a+23BC=a+23

2.AB错,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任意向量;C错,在平面α内任意向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对.

3.D因为e1与e2不共线,所以3x=4y-7

4.(-∞,4)∪(4,+∞)若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb(k∈R),得1≠2k,

5.(1)证明假设a=λb(λ∈R),

则e1-2e2=λ(e1+3e2).

由e1,e2不共线,得λ=1

方程无解,所以λ不存在.

故a与b不共线,可以作为一组基底.

(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),

则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.

所以m+n

所以c=2a+b.

6.A由题意可得,BD=AD-AB=13AC-AB,AP=AB+BP

7.D∵P1P=λPP2,∴OP-OP1=λ(OP2-OP),∴(1+λ)

8.D连接CD,OD,图略,∵C,D是半圆弧AB的两个三等分点,∴AC=BD,∴CD∥AB,∠CAD=

∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°,∴∠CAD=∠ADO=30°,∴AC∥DO,∴四边形ACDO为平行四边形.

∴AD=

∵AO=12AB=1

9.B

如图所示,