高三数学 第一轮复习 09：对数函数.doc

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高三数学第一轮复习09对数函数

·知识梳理·

模块01：对数函数的定义与图像

1、定义：当固定，且时，以为底的对数确定了变量随着变量变化的规律，称为底为的对数函数（logarithmicfunction）

2、对数函数的定义域：因为只有当时才有意义，所以对数函数的定义域是正实数的全体.

即的定义域为.

3、对数函数的图像：

图像

[注]：可用描点法作出对数函数的图像

4、对数函数与指数函数的关系

①对数函数是指数函数的反函数(因为是的解，所以说对数运算是指数运算的一种逆运算)。

②指数函数的图像与其同底对数函数的图像关于直线对称，指数函数(原函数)过点，则对数函数(反函数)过点，反之亦然。

模块02：对数函数的性质

1、规定对数函数的底：。

2、函数的图像与的图像关于轴对称。

3、定理：当，时，成立。

[证明]：用反证法，如果，由指数函数的性质，就可得，与矛盾。此定理又称为对数的基本不等式。

4、对数函数的图像与性质：

图像

图像特征

（1）图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交

（2）过定点

（3）自左至右图像上升

（3）自左至右图像下降

函数性质

（1）定义域为，值域为R

（2）当时，

（3）在上严格递增

（3）在上严格递减

在直线的右侧，当时，底数越大，图像越靠近轴；

当时，底数越小，图像越靠近轴，即“底大图低”。

模块03：对数方程与复杂对数不等式

1、对数方程：对数符号中含有未知数的方程叫做对数方程

2、对数方程的基本类型：

（1）,其解为；

（2），转化为求解；

（3），用换元法先求方程的解，再解对数方程．

3、对数不等式：

类型Ⅰ：；

当时，以上不等式同解于不等式：；

当时，以上不等式同解于不等式：；

类型Ⅱ：型不等式——换元法求解。

·典例精讲·

模块01：对数函数的定义与图像

例1-1函数为对数函数，则等于________

【答案】：。

【解析】：因为函数为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以。

例1-2已知，若函数的图象经过点，则

【答案】：。

【解析】：的图象经过点，，，且，，．故答案为：。

例1-3求下列函数的定义域

①；②；③

【答案】：①；②；③。

【解析】：①由解得.所以函数的定义域为。

②由题意可知：。

③由函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3），可得﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为{x|﹣1＜x＜3}。

例1-4当时，函数和的图象只可能是

A．B． C．D．

【答案】：

【解析】：因为时，函数是增函数，，不正确；直线的斜率小于0，所以不正确，正确．故选：。

例1-5已知函数图象与函数的图象关于对称，则(3)．

【答案】：

【解析】：函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数与函数互为反函数，，（3），故答案为：。

例1-6如图所示，曲线是对数函数的图象，已知取,,,，则对应于，，，的值依次为

A．,,, B．,,, C．,,, D．,,,

【答案】：A

【解析】：在图象上画出的直线，与各个曲线的交点的横坐标即为对应的对数函数的底数，如图所示：

，

所以对应于，，，的值依次,,,,故选：。

例1-7已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为

A． B． C． D．

【答案】：B

【解析】：设函数，且，对数函数的图象过点，，，

，解得。此对数函数的解析式为。故选：。

例1-8求下列函数的定义域：

【答案】：（1）{x|x-1或x1}；（2）

【解析】：（1）由得，x2-10即x21,有x-1或x1。∴该函数定义域为{x|x-1或x1}。

（2）由得：有，-1x1,且x≠0。∴该函数定义域为。

模块02：对数函数的性质

1、对数函数定点问题

例2-1

（1）函数的图像恒过一定点是____________

【答案】：（2，2）

【解析】：利用对数函数过定点(1,0)

（2）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则(8)

【答案】：64

【解析】：对于函数，令，求得，，可得它的图象恒过定点．

点在幂函数的图象上，，，，则（8），故答案为：64。

例2-2函数，的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为

【答案】：8

【解析】：时，，函数，的图象恒过定点即，点在直线上，，即，，，

，当且仅当，时取等号。故答案为：8。

2、对数函数单调性及其运用

①对数函数单调性：

例2-3已知函数是严格增函数，则实数的取值范围是

【答案】：

【解析】：由题意可得，，解可得，．故答案为：。

②比较大小：

例2-4利用对数函数的单调性，比较下列各题中两个对