高三数学 第一轮复习 13：函数的值域.doc

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高三数学第一轮复习13函数的最值

·知识梳理·

模块01：求函数最值

1、定义：函数在处的函数值是，对于定义域内任意给定的，如果都成立，那么就叫做函数的最小值（minimun）；相反，如果都成立，那么就叫做函数的最大值（maximun）。

2、函数最值的求法

1）、直接观察；

2）、配方法；

3）、基本不等式/耐克函数；

4）、分离常数法/部分分式法；

5）、数形结合法；

6）、换元法；

7）、判别式法；

8）、单调性；

9）、奇偶性(*)…

3、函数的值域

1）、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2）、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

3）、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论.叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述，而且最后的结论要用总结的话语进行概括。

4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集。

5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结。

模块02：求参数的值或取值范围

1、二次函数：一般讨论开口方向、对称轴位置；

2、耐克函数：讨论拐点位置。

3、策略：分类讨论（拐点、对称轴、开口方向等等）

模块03：存在成立与恒成立问题

1、不等式的恒成立与存在成立问题解题思路

①简单版：一般先考虑分离参数，

（1）若不等式（为实参数）恒成立，转化为或对于恒成立，进而转化为或，求的最值即可；

（2）若不等式（为实参数）有解，转化为或对于存在成立，进而转化为或，求的最值即可。

②进阶版：一般地，已知函数，

（1）若任意，任意，使得成立，则；

（2）若任意，存在，使得成立，则；

（3）若存在，任意，使得成立，则；

（4）若存在，存在，使得成立，则。

③恒成立的同义描述：任意...都、解集为R、解集为空集…

存在成立的同义描述：有解、解集不为空集…

④恒成立与存在成立问题的四大方法：

1.判别式法：

适用条件：

一元二次不等式；ii)对于任意实数R，两者皆具。

2.参变分离法：主要方法。

3.分类讨论法：注意分类之后取的交并集（一般恒成立问题取交集，存在成立问题取并集）。

4.数形结合法

等式的恒成立与存在成立问题

①简单版：

（1）若恒成立，则未知数的系数皆为0，且等式左右常数项相等；

（2）若有解，则的取值范围为在上的值域。

②进阶版：一般地，已知函数，：

（1）若任意，任意，有，则左右未知数系数均为0，且常数项相等；

（2）若任意，存在，有，则值域值域；

（3）若存在，任意，有，则值域值域；

（4）若存在，存在，有，则值域与值域有交集。

·典例精讲·

模块01：求函数最值

例1-1

（1）已知函数在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于__________.

【答案】

【解析】函数在区间上单调递减函数∴当时，取最大值，当时，取最小值，∴。

（2）函数的最大值为．

【答案】5

【解析】函数，可得，函数在，上是减函数，则，函数取得最大值5，故答案为：5。

例1-2函数有________值(最大、最小)是________

【答案】最小值，3

【解析】恒成立，函数的定义域为

设，由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减，函数取到最大值即：函数的值域为。

例1-3若，则函数的最小值为．

【答案】

【解析】，则函数，

当且仅当时，即时取等号，故函数的最小值为，故答案为：。

例1-4已知函数的最大值为，最小值为，则等于_______________.

【答案】

【解析】，，即.

例1-5函数在区间[-1，1]上的最大值为________.

【答案】

【解析】因为在上是减函数，所以，令，

所以，，所以.

因为在上单调递减，所以，

所以在区间上的最大值为。

例1-6

（1）函数的最大值是．

【答案】1

【解析】由根式有意义可得：,,函数单调递增．（1）．故答案为：1。

（2）函数在区间上的最大值为____________.

【答案】3

【解析】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为.

例1-7已知、是常数，且，若函数的最大值为10，则的最小值为

【答案】-4．

【解析】函数定义域为，，设为奇函数，

，所以，所以，故答案为：。

例1-8

（1）函数，，的最大值为．

【答案】8

【解析】由题意，可知当，即，或时，；

当，即时，．

，图像如下：

结合图像，又（1），，可知，，的最大值为8。故答案为：8。

（2）对，，记，函数，的最小值是．

【答案】

【解析】由，故，

其图像如右，则．故答案为：．

例1-9已知在区间[0，1