2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程习题课椭圆的综合问题及应用分层作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

习题课椭圆的综合问题及应用

A级必备知识基础练

1.若直线kx-y+3=0与椭圆x216+y24=1有两个公共点,

A.-54,5

B.54

C.-∞,-54∪54,+∞

D.-∞,-54∪-54,5

2.过点M(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,O为坐标原点,设直线m的斜率为k1,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为(

A.2 B.-2 C.12 D.-

3.若点O和点F分别为椭圆x29+y28=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,

A.214 B.6 C.8

4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为

A.22 B.12 C.1

5.已知斜率为2的直线l被椭圆x23+y22=1截得的弦长为30

6.已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=120°,且|PF1|=

7.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,则这条弦所在的直线方程为.?

8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线y=2x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值.

B级关键能力提升练

9.A为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点,P为椭圆C上一点(不与A重合),若PO·PA=0(O是坐标原点),

A.12,1 B.22,1

C.32,1 D.以上说法都不对

10.(多选题)设A,B是椭圆C:x24+y2k=1长轴的两个顶点,若C上存在点P满足∠APB=120°,

A.43 B.2 C.6

11.(多选题)已知椭圆C:x225+y29=1,F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B

A.存在点P使得∠F1PF2=π

B.椭圆C的弦MN被点(1,1)平分,则直线MN的斜率kMN=-9

C.若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为9

D.直线PA与直线PB斜率的乘积为定值9

12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M12,12,

13.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1(-1,0),F

(1)求椭圆E的离心率e与椭圆的标准方程;

(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q两点(均异于点A),求证:直线AP与AQ的斜率之和为定值.

参考答案

习题课椭圆的综合问题及应用

1.C由y=kx+3,x216+y24=1得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)0,

2.D设直线m与x2+2y2=2的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则中点P(x0,y0),且x0=x1+x22,

将P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入x2+2y2=2,可得x12+2y12=2,x22+2y22=2,两式相减,可得x12-x22+2(y12-y22)=0,则由于k1=y1-y2x1-x2,k

3.B∵点P为椭圆x29+y

设P(x,y)(-3≤x≤3,-22≤y≤22),

依题意得左焦点F(-1,0),

∴OP=(x,y),FP=(x+1,y),

∴OP·FP=x(x+1)+y2=x2+x+

∵-3≤x≤3,∴6≤19

即6≤OP·FP

4.A设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=2,y1+y2=1.又A,B在椭圆上,∴x12a2+y12b2=1,

∵kAB=y1-y2x1-x2=kFP=-bc,kOM=y1+y2x1+x2=12,∴bc=2b2

5.y=2x±13设直线l的方程为y=2x+m,直线与椭圆交于A,B两点,坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),

由x

消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,Δ=-24m2+3360,-14m14,所以x1+x2=-67m,x1x2=314(m2-

由弦长公式得|AB|=1+k2·(x1

所以直线l的方程为y=2x±13.

6.134设|PF2|=m(m0),则|PF1|=3m

由∠F1PF2=120°得,

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°,

即4c2=9m2+m2+3m·m,因此,c=132

又2a=|PF1|+|PF2|=4m,∴a=2m,

∴e=ca

7.2x+3y-12=0设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦所在直线的斜率为k.