2024_2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算分层作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

1.1.1空间向量及其线性运算

A级必备知识基础练

1.下列说法错误的是()

A.任意向量与它的相反向量不相等

B.和平面向量类似,任意两个空间向量都不能比较大小

C.如果|a|=0,则a=0

D.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同

2.给出下列命题:

①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆;

②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;

③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有AC=

④若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则a=c;

⑤空间中任意两个单位向量必相等.

其中假命题的个数是()

A.1 B.2 C.3 D.4

3.如图,在四面体ABCD中,点M,N分别是棱AD,CD的中点,则12(BD+BA)-12

A.CA B.AC

C.NM D.MN

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则AM=(

A.a+b+12

B.a-b+12

C.12a+12b+

D.12a-12b+

5.(多选题)下列命题中,是真命题的为()

A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同

B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=±b

C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p

D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有AC

6.(多选题)下列说法正确的是()

A.向量AB与

B.在空间四边形ABCD中,AB与

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.向量AC,MN方向相同且模相等

7.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA=53PB+xPC+1

8.如图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,点G为△ACO1的重心,若OA=a,OC=b,OO1=c,OG=xa+yb+zc,则x+y+z=

B级关键能力提升练

9.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若AB=a,AC=b,AA1=c,则CM=.(用a,b,c

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CD的中点.

(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,用向量a,b,c表示

(2)设AB1=a,AD1=b,AC=c,用向量a,b,

11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,C1C=2EC,A

(1)求证:A,F,E三点共线.

(2)若点G是平行四边形B1BCC1的中心,求证:D,F,G三点共线.

参考答案

第一章空间向量与立体几何

学习单元1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

1.A对于A,零向量的相反向量是它本身,故A错误;

对于B,空间向量是有向线段,不能比较大小,故B正确;

对于C,如果|a|=0,则a=0,故C正确;

对于D,两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同,故D正确.故选A.

2.C①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.根据正方体的定义,上下底面的对角线长度必定相等,结合向量的方向,所以AC=A1C1.④真命题.向量的相等具有传递性.⑤假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,

3.C如图所示,连接BM,BN.因为M,N分别是棱AD,CD的中点,所以12(BD+BA)-12(

4.A因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,所以AM=AC+CM=AB+AD

故选A.

5.CD当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个相等向量的起点、终点不一定相同,故A错误;

模相等的两个向量的方向是任意的,即模相等的两个向量的方向不一定相同,也不一定相反,故B错误;

由相等向量的传递性,知若m=n,n=p,则m=p,故C正确;

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ACC1A1是矩形,向量AC与A1C1的方向相同,模也相等,即AC=A1

6.AD向量AB与BA是相反向量,长度相等,故选项A

在空间四边形ABCD中,AB与CD的模不一定相等,方向也不一定相反,故选项B

空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,故选项C错误;

由相等向量的概念易知选项D正确.故选AD.

7.-1根据向量共面定理,可得53+x+13=1,即x=-

8.1在正方体中,易知△ACO1为正三角形.如图,连接BO交AC于点M,连接O1M,显然点G在线段O1M上,且满足O1G=2GM,即OG-OO1=2(OM-OG),整理得OG=23OM+13OO1,所以