2024届杭州市重点中学高三暑假自主学习测试数学试题.doc

2023届杭州市重点中学高三暑假自主学习测试数学试题

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点()

A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

2．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）

A． B． C． D．

3．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

4．已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件

5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为()

A．7 B．15 C．31 D．63

6．已知满足，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

7．是虚数单位，则（）

A．1 B．2 C． D．

8．已知等差数列中，则（）

A．10 B．16 C．20 D．24

9．复数的共轭复数为（）

A． B． C． D．

10．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（）

A．0 B．2 C．4 D．1

11．已知函数在上单调递增，则的取值范围（）

A． B． C． D．

12．在等差数列中，若，则（）

A．8 B．12 C．14 D．10

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．变量满足约束条件，则目标函数的最大值是____．

14．已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．

15．已知在等差数列中，，，前n项和为，则________.

16．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，若.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，，求.

18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设点，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求的值．

19．（12分）已知函数.

（1）讨论函数单调性；

（2）当时，求证：.

20．（12分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（为参数)与曲线相交于不同两点，.

（1）若，求线段的中点的坐标；

（2）设点，若，求直线的斜率.

21．（12分）如图，已知椭圆的右焦点为，，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线经过，交椭圆于点，，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，，，求证：直线与直线的交点在定直线上.

22．（10分）已知函数，直线是曲线在处的切线．

（1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标；

（2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.

【详解】

由图可知，，

又，，

又，，，

为了得到这个函数的图象，

只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，

得到的图象，

再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.

故选:A

【点睛】

本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.

2．C

【解析】

根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.

【详解】

因为圆心，半径，直线与圆相交，所以