如何用元素法解决阿基米德螺线的弧长.pdf

第19卷第2期呼伦贝尔学院学报No.2Vol.19

2011年4月JournalofHulunbeierCollegePublishedinapril2011

如何用元素法解决阿基米德螺线的弧长

123

郑立飞魏宁万阿英

（1.2西北农林科技大学理学院陕西杨凌712100）

（3.呼伦贝尔学院数学科学学院内蒙古海拉尔区021008）

摘要：本文主要给出了利用元素法计算阿基米德螺线弧长的方法原理，最后指出微元分

析法是微积分的基本方法，是讲授和学习的重点。

关键词：元素法；阿基米德螺线；微元分析法

中图分类号：O13，G642.0文献标识码：A文章编号：1009-4601（2011）02-0095-03

引言螺线的弧长，同时说明挤压原理在元素法中的重

[2]要性，从而解除学生将元素法应用到阿基米德螺

同济版高等数学上册(第六版)在第六章(定积

分的应用)中给出了利用元素法求解曲线弧长的计线时存在的疑惑，为日后处理相关问题时能更好

算公式，对极坐标下的平面曲线弧长，书中所采地把元素法应用于实践奠定坚实地基础。

用的办法是将曲线的极坐标方程转化为直角坐标1.阿基米德螺线弧长元素的给出

方程，从而利用如下公式来解决：不失一般性，我们只考虑阿基米德螺线

β22

s∫αρ=+ρdθ.ρaθ在区间[0,2π]内的弧长。首先，将阿基米

ρ=ρθ()θ∈αβ,

这里，[]为曲线方程，s为德螺线按角度进行分割：

()

曲线的长度（弧长）。θ0θθθθ2π,

012n−1n

学生在利用该公式计算阿基米德螺线长度的任意取一个区间θ,θ，令区间长度为

[i−1i]

时候，提出了一个问题：为什么不能将曲线弧长∆θ:=∆θθ=−θ，这时对应弧段长度记为

iii−1

的微元看作扇形的弧长，然后利用元素法来直接ABsi:s,将此弧段用对应的直线段长度

计算螺线长度？这个问题提得非常好，它不仅反AB∆s(符号相同)来近似(见图1)。同时，在这

映了学生在学习过程中勤