9.2 一元一次不等式的解法（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(28450614).doc

第九章不等式与不等式（组）

9.2一元一次不等式的解法（能力提升）

【要点梳理】

知识点一、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．

要点诠释：

(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1．

(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．

要点二、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．

要点诠释：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左．

【典型例题】

类型一、一元一次不等式的概念

例1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？

（1）（2）（3）（4）（5）

【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．

【答案与解析】

解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．

【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．

类型二、解一元一次不等式

例2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．

【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．

【答案与解析】

解：将分母变为整数，得：

去分母，得：

去括号，合并同类项，得：

系数化1，得：

这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：

【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．

举一反三：

【变式】解不等式：

【答案】

解：去括号，得

移项、合并同类项得：

系数化1，得

故原不等式的解集是

例3.m为何值时，关于x的方程：的解大于1？

【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．

【答案与解析】

解：x-12m+2=6x-15m+3

5x=3m-1

由

解得m＞2

【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．

举一反三：

【变式】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则．

【答案】1或2

例4.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围．

【思路点拨】先解出方程组再解不等式．

【答案与解析】

解：由，解得：

∵

∴

解得

∴的取值范围为

【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出的具体值．

类型三、解含字母的一元一次不等式

例5．解关于x的不等式：(1-m)xm-1

【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m的符号我们不知道，故需分类讨论．

【答案与解析】

解：当1-m＞0即m＜1时，原不等式的解集为：x＞-1；

当1-m＜0即m＞1时，原不等式的解集为：x＜-1；

当1-m=0即m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．

【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：

若ax＞b（a≠0），

当时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集是．

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式m（x-2）＞x-2.

【答案】

解:化简，得（m-1）x＞2（