苏教版高中数学选择性必修第一册课后习题 第四章 数列 培优课 求数列的通项公式.docVIP

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培优课求数列的通项公式

A级必备知识基础练

1.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=3an+2,则{an}的通项公式为()

A.an=2n-1 B.an=3n-1

C.an=22n-

2.将一些数排成倒三角形,如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2021,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M=()

A.2021×22018 B.2022×22019

C.2021×22019 D.2022×22020

3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n-2,a1=2,则{an}的通项公式为()

A.an=2n-1-1 B.an=2n-1

C.an=2n-1+1 D.an=2n

4.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是()

A.数列{Sn+n}为等比数列

B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1

C.数列{an+1}为等比数列

D.数列{Sn-Sn-1+1}(n≥2)为等比数列

5.在数列{an}中,a1=3,nan+1=(n+1)an+2n(n+1),则an=.?

6.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.

(1)求a1的值;

(2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列.

7.已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+S

B级关键能力提升练

8.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1=12an+12n

A.2n B.n(n+1) C.n2n

9.在数列{an}中,a1=5,且满足an+12n-5-2=an

A.2n-3 B.2n-7

C.(2n-3)(2n-7) D.2n-5

10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+2.若bn=log21a

A.12n B.n-1 C.n

11.若数列{an}满足a1=1,且an+1=4an+2n,则a6=.?

12.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”,第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2;……设第m次“扩展”后得到的数列为1,x1,x2,…,2,并记an=log2(1·x1·x2·…·xt·2),其中t=2n-1,n∈N*,则数列{an}的前n项和Sn=.?

13.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1,求数列{an

14.某企业投资1000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率.经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(取lg2≈0.3)

C级学科素养创新练

15.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.

(1)试用an表示an+1;

(2)求证:an

(3)当a1=76时,求数列{an

参考答案

培优课求数列的通项公式

1.B由an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),

所以数列{an+1}是首项为a1+1=3,公比为3的等比数列,所以an+1=3×3n-1=3n,即an=3n-1.

故选B.

2.B记第n行的第一个数为an,

则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2(n≥2),

∴an2n-2

∴an2n-2=2+(n-1)×1=n+1,∴

又每行比上一行的数字少1个,

∴最后一行为第行,

∴M=a=×2.

3.C由Sn=an+1+n-2,得Sn-1=an+n-3(n≥2),

两式相减得an+1=2an-1(n≥2),

所以an+1-1=2(an-1)(n≥2),

又S1=a2+1-2,a1=2,则a2=3,

即a2-1=2(a1-1),

因此{an-1}是以a1-1=1为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=2n-1,即an=1+2n-1.

4.AD因为Sn+1=2Sn+n-1,所以Sn+1+n+1=2(Sn+n).

又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;

所以Sn+n=2n,则Sn=2n-n,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a1≠21

由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4,即a3