例题linear-sys2线性系统.pptx

例题例1.3.1给定实现{A,b,c},其特征多项式为传递函数为试证明，{A,b,c}能化为控制器规范型的充要条件为{A,b,c}能控.证明：设法找到一个可逆阵T,使得设T=[t1,t2,…,tn],由于bc=[10…0]T,所以b=Tbc,即

另外TAc=AT=[At1,At2,…,Atn],即上式对应各列相等得到把上面各等式写成

由于总是非奇异，因此，T非奇异?L非奇异，即{A,b,c}能控。从本例可看出，任何能控的同阶实现{A,b,c}都与控制器规范型相似；不难验证，所以例1.3.2已知传递函数b(s)/a(s),其中证明，b(s)/a(s)的控制器规范型实现{Ac,bc,cc}能观测的充要条件是b(s)与a(s)互质。

证明：利用友矩阵的位移性质：其中是单位阵In的第i行，可得把这些写成等式，得到

上式表明，Oc非奇异?b(Ac)非奇异?|b(Ac)|?0,而式中，是Ac的特征值。若要例1.3.3设{A1,b1,c1}和{A2,b2,c2}是同一传递函数的两个实现.若|sI-A1|=|sI-A2|,且两实现均能控，则此二实现相似；同样，若它们都能观测时，也相似。证明：仅证明能控时的情形.由于{A1,b1,c1}和{A2,b2,c2}均能控,所以L1,L2非奇异.令T=L1L2-1则有

这里用到下列事实若记则有下面再验证

我们考察，为清楚起见设n=3.由Cayley-Hamilton定理，于是同理可得

从而可知因而再验证c2=c1T.由Markoff参数由传递函数唯一确定，所以将上述等式写成即或由(1.3.24),(1.3.26),(1.3.27)可知{A1,b1,c1}和A2,b2,c2}相似.此外，还有

T-1L1=L2,(1.3.28)若还存在变换阵使得(1.3.24),(1.3.26),(1.3.27)成立，则由(1.3.28)可知，必有即由于非奇异，所以有;这表明{A1,b1,c1}和A2,b2,c2}相似时，变换阵是唯一的。

相似变换的几何解释在n维空间中，任给一向量x=[x1…xn]T,我们认为该向量是对标准正交基而言的，即这样，x的各分量就是在标准正交基下的坐标。在相似变换中，T为过渡矩阵，其列为新基在原基下的坐标。

例1.3.4将能控的实现{A,b,c}化为能控性规范型.解：由于{A,b,c}能控，所以非奇异；取L的各列为新基，即过渡矩阵为T=L，作坐标变换；设变换后的实现为,则，于是所以另外，利用Cayley-Hamilton定理得到所以

这样，在基下，状态方程为

1.3.2最小实现，能控性，能观测性检验最小实现定义1.3.1(最小实现）一个传递函数的阶数最低的实现称为这个传递函数的最小实现。引理1.3.1：如果传递函数有一个能控能观的n阶实现，则该传递函数的一切n阶实现都是能控能观测的。证明：对任一实现{A,b,c},Hankel阵都有

由于cAi-1b=hi,I=1,2,…,仅取决于传递函数，所以如果{A1,b1,c1},{A2,b2,c2}是H(s)的两个n阶实现，那么由式（1.3.40)知必有O1L1=O2L2,由题意，设{A1,b1,c1}能控，能观测?O1和L1非奇异?O1L1非奇异?O2和L2非奇异?{A2,b2,c2}能控，能观测。由例1.3.2知道，传递函数H(s)的控制器型实现能观测?b(s)和a(s)互质；由此和引理1.3.1立即得出：定理1.3.1传递函数b(s)/a(s)不可约?所有n=阶实现能控，能观测。定理1.3.2{A,b,c}是最小实现?a(s)=|sI-A|和b(s)=c(sI-A)*b互质。证明：?已知{A,b,c}是最小实现,如果b(s)/a(s)可约，这时由约化后的传递函数可以得到一个维数更低的状态空间实现，这与{A,b,c}是最小实现矛盾。?设a(s)和b(s)互质，如果此时{A,b,c}不是最小实现，那么必定存在维数更低的实现{A1,b1,c1}，它的传递函数的分母的次数必定低于A的维数n,这表明b(s)/a(s)可约,与题设矛盾.

综合定理1.3.1和1.3.2便得到定理1.3.3{A,b,c}是最小实现?{A,b,c}能控，能观测。2.