高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）.docVIP

2023届高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）

解答题：立体几何

1.如图,在四棱锥中,为平行四边形,,,且底面

(1)证明:平面

(2)若为的中点,求三棱锥的体积

2.如图,三棱柱中,,,平面平面,与相交于点；

(1)求证：；

(2)求二面角的正弦值.

3.如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离．

4.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，平面平面，且，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

5.如图,四边形为菱形,,四边形为矩形,平面平面,点在上,.

(1)证明：平面；

(2)若与平面所成角为,求二面角的余弦值.

6.将边长为2的正方形沿对角线折叠,使得平面,平面,平面,是的中点,且.

(1)求证：；

(2)求二面角的大小.

7.如下图所示，在侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，点是的中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面；

(3)求和平面所成的角的大小．

8.在如图所示的几何体中,四边形是正方形,平面,分别是线段的中点,.

(1)求证：平面；

(2)求到平面的距离.

答案以及解析

1.答案：(1)∵,∴,

∵,∴

又∵底面,∴.

∵,∴平面

(2)三棱锥的体积与三棱锥的体积相等,

所以三棱锥的体积

2.答案：(1)已知侧面是菱形,是的中点,

因为平面平面,且平面,

平面平面,所以平面,

所以又因为侧面是菱形,所以所以

(2)如图,以为原点,以,,所在直线

分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,

由已知可得,,,,

∴,,,,,

设平面的一个法向量是,,

由,,得,可得

∵平面平面,,∴平面,

∴平面的一个法向量是,

∴,

故二面角的正弦值是

3.答案：（Ⅰ）证明：取点是的中点，连接，，则，且，∵且，

∴且，∴四边形为平行四边形，

∴，∴平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．

利用等体积法：，

即，，

∵，，∴，

∴．

4.答案：（1）∵，，平面，

∴平面，又平面，∴，

∵平面平面，面平面，，平面，

∴平面，而平面，∴，

又∵，平面，

∴平面．

（2）以为轴建立空间直角坐标系，

由（1），

，则，

，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，即，

设直线与平面所成角为，

则．

5.答案：(1)因为,所以.

因为平面平面,,所以平面,所以.

又因为,所以平面.

(2)由(1)知平面,所以为与平面所成的角,

所以,由平面,知,

设,则.

连接,以和的交点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则

所以

设为平面的一个法向量,

则可取.

由(1)可知为平面的一个法向量.

所以.

结合图可知二面角的余弦值为.

6.答案：(1)证明：以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

如图所示,则,,

连结.由题意得,

又平面平面,

平面,

,

,

,,

.

(2)解：设平面的法向量为,

,,

取,得：.

平面的法向量为,

所以,,

由得.

设二面角为,

则,

所以二面角的大小为.

7.答案：(1)证明：在直三棱柱中，

底面三边长，，∴.

又∵面，∴.

∴平面.∵平面，∴.

(2)证明：设与的交点为，连接，又四边形为矩形．是的中点，

∵是的中点，∴.

∵平面，平面，∴平面.

（3），点是的中点．∴

又∵面，∴.

∴平面.∴为所求

，，∴.

8.答案：1.取中点,连接,

∵分别是中点,,

∵为中点,为正方形,,

,四边形为平行四边形,∵平面,平面,平面.

2.∵平面,到平面的距离等于到平面的距离,?

∵平面,,∵,在中,

∵平面,,又∵,,,

平面,又∵平面,

,故.

?,

为直角三角形,∵,设到平面的距离为,

则,

????

到平面的距离.