专题4.1 相似三角形的综合运用（强化）（解析版）.pdfVIP

专题4.1相似三角形的综合运用

【例题精讲】

【例1】如图所示，在DABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作

AF//BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．

求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；

（2）FG×BE=CE×AE．

【解答】（1）证明：QAF//BC，

\ÐAFD=ÐDEC，

QÐFDA=ÐCDE，D是AC的中点，

\DADF@DEDC，

\AF=CE，

QAF//BC，

\四边形AFCE是平行四边形；

（2）证明：Q四边形AFCE是平行四边形，

\ÐAFC=ÐAEC，AF=CE，

QAF//BC，

\ÐFAB=ÐABE，

\DAFG∽DBEA，

FGAF

\=，

AEBE

\FG×BE=AF×AE，

\FG×BE=CE×AE．

【例2】如图，AB^BC，DC^BC，E是BC上一点，使得AE^DE；

（1）求证：DABE∽DECD；

（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；

（3）当DAED∽DECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：QAB^BC，DC^BC，

\ÐB=ÐC=90°，ÐBAE+ÐAEB=90°，

QAE^DE，

\ÐAED=90°，

\ÐAEB+ÐDEC=90°，

\ÐDEC=ÐBAE，

\DABE∽DECD；

（2）解：RtDABE中，QAB=4，AE=5，

\BE=3，

QBC=5，

\EC=5-3=2，

由（1）得：DABE∽DECD，

ABEC

\=，

BECD

42

\=，

3CD

3

\CD=；

2

（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；

理由是：过E作EF^AD于F，

QDAED∽DECD，

\ÐEAD=ÐDEC，

QÐAED=ÐC，

\ÐADE=ÐEDC，

QDC^BC，

\EF=EC，

QDE=DE，

\RtDDFE@RtDDCE(HL)，

\DF=DC，

同理可得：DABE@DAFE，

\AF=AB，

\AD=AF+DF=AB+CD．

【题组训练】

1．如图，DABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相

交于点F，

（Ⅰ）证明：；

DABD@DBCE

（Ⅱ）证明：DABE∽DFAE；

（Ⅲ）若，DF=1，求BD的长．

AF=7

【解答】解：（Ⅰ）是等边三角形，

QDABC

\AB=BC，ÐABD=ÐBCE，

在DABD与DBCE中

AB=BC

ì

ï

íÐABC=ÐBAC=ÐC=60°，

ï

BD=CE

î

\DABD@DBCE(SAS)；

（Ⅱ）由（1）得：ÐBAD=ÐCBE，

又QÐABC=ÐBAC，

\ÐABE=ÐEAF，

又QÐAEF=ÐBEA，

\DAEF∽DBEA；

（Ⅲ），ÐBDA=ÐFDB，

QÐBAD=ÐCBE

\DABD∽DBFD，

ADBD

\=，

BDDF

\BD2=ADgDF=(AF+DF)gDF=8，

\BD