2025（苏教版）数学九年级下册第5章《二次函数》单元复习讲义（知识点+典例）学生版+解析版.docx

2025（苏教版）数学九年级下册

第5章《二次函数》单元复习讲义

【清单01二次函数的概念】

二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数．

【清单02二次函数的图象与性质】

二次函数y=ax2的图象的性质：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．

的性质：上加下减

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

的性质：左加右减

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

x=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

的性质：左加右减，上加下减

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

x=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

一般式：（，，为常数，）；

函数

二次函数（a、b、c为常数，a≠0）

图象

开口方向

向上

向下

对称轴

直线

直线

顶点坐标

增减性

在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增

在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减

最大(小)值

抛物线有最低点，当时，y有最小值，

抛物线有最高点，当时，y有最大值，

【清单03二次函数的图象与a，b，c的关系】

取值计算

(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.

(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.

(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.

(4)的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.

(5)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.

(6)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.

【清单04二次函数图象的平移】

由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即

.

因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，

平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．

【清单05二次函数与一元二次方程】

1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。

2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。

3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。

【清单06二次函数与不等式】

判别式

抛物线与x轴的交点

不等式的解集

不等式的解集

△＞0

或

△＝0

（或）

无解

△＜0

全体实数

无解

【清单07待定系数法求解析式】

二次函数解析式的形式

一般式：顶点式：

交点式顶点在原点：

过原点：顶点在y轴：

求二次函数（a≠0）的最值的方法

配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式

若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且

②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且

公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则

若a＞0，当x=时，函数有最小值，且

若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且

【清单08二次函数的应用】

1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。

2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。

3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。

4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。

6.写出答案。

【考点题型一根据二次函数的定义求参数】

【例1】已知是关于x的二次函数，则m的值为（???