苏教版高中数学必修第二册课后习题 第9章 平面向量 9.2.3 向量的数量积.docVIP

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9.2.3向量的数量积

A级必备知识基础练

1.若p与q互为相反向量,且|p|=3,则p·q等于()

A.9 B.0 C.-3 D.-9

2.“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是“a·b0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知|a|=8,|b|=4,a与b的夹角为120°,则向量b在a上的投影向量为()

A.14a B.-1

C.12a D.-1

4.已知a,b是非零向量,且a,b不共线,|a|=3,|b|=4,若向量a+kb与a-kb互相垂直,则实数k的值为()

A.±2 B.±12

C.±43 D.±

5.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角大小为2π3,则|2a-3b|=

6.已知a,b均为单位向量,若|a-2b|=3,则向量a与b的夹角为.?

7.已知|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为60°,与b同向的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为.?

8.已知|a|=1,a·b=12,(a-b)·(a+b)=1

(1)a与b的夹角;

(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.

B级关键能力提升练

9.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10N,方向与水平面成60°角,则当小车向前运动10m时,力F做的功为()

A.100J B.50J

C.503J D.200J

10.(多选题)已知平面向量a=(3,-1),|b|=1,且(a+3b)·b=2|a|,则()

A.a·b=|a|

B.向量a与b的夹角为π

C.(a-2b)∥b

D.(a-4b)⊥a

11.已知平面上三点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·

A.-7 B.7

C.25 D.-25

12.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于()

A.8 B.-8 C.8或-8 D.6

13.如图,四边形ABCD是边长为5的正方形,四边形EFGH是边长为1的正方形,四个三角形均为直角三角形,则AE·

A.6 B.8 C.10 D.12

14.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则

15.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的实数λ的取值范围是.?

16.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则|a||

17.已知|a|=5,|b|=4,

(1)若a与b的夹角为θ=120°.

①求a·b;

②求a在b上的投影向量.

(2)若a∥b,求a·b.

C级学科素养创新练

18.已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

19.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.

(1)求证:(a-b)⊥c;

(2)若|ka+b+c|1(k∈R),求k的取值范围.

参考答案

9.2.3向量的数量积

1.D由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.

2.A若向量a与向量b的夹角θ为锐角,则a·b=|a||b|cosθ0;当a·b0时,向量a与向量b的夹角θ可能为0°.故选A.

3.B向量b在a上的投影向量为|b|cos120°a|a|=4×-12

4.D因为向量a+kb与a-kb互相垂直,

所以(a+kb)·(a-kb)=0?a2-k2b2=0?9-16k2=0?k=±34

5.19根据题意,得|2a-3b|=(2

6.π3由|a-2b|=3,得(a-2b)2=3,即a2+4b2-4a·b=3,设单位向量a与b的夹角为θ,则有1+4-4cosθ=3,解得cosθ=12.又θ∈[0,π],所以θ=

7.e设a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为|a|ecosθ=2×12

8.解(1)∵(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=12

又|a|=1,∴|b|2=12,∴|b|=2

设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·

∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°,∴a与b的夹角为45°.

(2)|a-b|=(

=1-

|a+b|=(

=1+2×1

设a-b与a+b的夹角为α,

则cosα=(a

9.B由题意,根据向量数量积的定义,可得力F做的功W=F·s=10×10cos60°=50(J).

10.BD由a=(3,-1)得|a|=2,由(a+3b)·b=2|a|得a·b+3|b|2=4,∴a·b=1,∴a·b≠|a|,故A错误;

∴cosa,b=a