2024-2025学年度八年级数学下册第14讲正方形核心考点讲与练[含答案].pdf

第14讲正方形（核心考点讲与练）

一．正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条

对称轴．

二．正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

三．正方形的判定与性质

（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．

（2）正方形的判定

正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．

一．正方形的性质（共7小题）

1．（鄞州区校级期末）如图所示，将边长为12cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿

2

着AD方向平移得到△ABC，若两个三角形重叠部分的面积为32cm，则它移动的距离AA等于

（）

1

A．4cmB．6cmC．8cmD．4cm或8cm

【分析】根据平移的性质和正方形的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′

都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，根据平行四

边形的面积公式即可列出方程求解．

【解答】解：设AC交A′B′于H，

∵∠A＝45°，∠D＝90°，

∴△A′HA是等腰直角三角形，

设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，

∴x•（12﹣x）＝32，

解得x＝4，x＝8，

12

即AA′＝4cm或AA′＝8cm，

故选：D．

【点评】本题考查正方形的性质和平移的性质．解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利

用方程方法解题．

2．（鄞州区校级开学）如图，正方形ABCD的边长为6，P，Q两点同时从点A出发，在正方形ABCD

的边上分别按顺时针和逆时针方向匀速运动，点Q的运动速度是点P的两倍，当点P第一次回到

出发点时两点同时停止运动，在运动过程中，出现以P，Q，B，D为顶点的四边形为平行四边

形的次数为（）

A．0次B．1次C．2次D．3次

【分析】设点P的运动速度为1，点Q的速度为2，运动时间为t，然后利用平行四边形的性质分

2

情况讨论求得t的值，即可得到结果．

【解答】解：当点Q第一次位于AB上时，0≤t＜3，

此时，点P位于AD上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；

当点Q第一次在BC上时，3≤t＜6，点P在AD上，如图1，

此时，PD＝6﹣t，BQ＝2t﹣6，

∵四边形PBQD为平行四边形，

∴PD＝BQ，即6﹣t＝2t﹣6，

∴t＝4，符合题意；

当点Q第一次在CD上时，6≤t＜9，

此时，点P在CD上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；

当点Q第一次在AD上时，9≤t＜12，

此时，点P在CD上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；

当点Q回到点A时，t＝12，点P在点C处，

此时，四边形PBQD为正方形，符合题意；

当点Q第二次位于AB上时，12＜t＜15，

此时，点P位于BC上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；

当点Q第二次位于BC上时，15≤t＜18，

此时，点P位于BC上，以P，Q，B，D为顶点的四边形不是平行四边形，不符合题意；

当点Q第二次位于CD上时，18≤t＜21，

此时点P位于AB上，PB＝t﹣1