苏教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第六章 空间向量与立体几何 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量.docVIP

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6.3空间向量的应用

6.3.1直线的方向向量与平面的法向量

A级必备知识基础练

1.若A(0,2,1),B(3,2,-1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()

A.(-3,0,-6) B.(9,0,-6)

C.(-2,0,2) D.(-2,1,3)

2.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则该平面的一个法向量为()

A.(1,-1,1) B.(2,-1,1)

C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1)

3.(多选题)若PA是平面ABCD的法向量,且四边形ABCD为菱形,则以下各式成立的是()

A.PA⊥AB

C.PC⊥BD

4.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点,在平面α内的是()

A.P(1,-1,1) B.Q1,3,32

C.M1,-3,32 D.N-1,3,-32

5.设平面α的一个法向量为m=(-1,3,5),点P(-1,1,1)在平面α内,M(x,y,z)是α内任意一点,则平面α用关于x,y,z的三元一次方程表示为.?

6.已知直线l1的一个方向向量为(-5,3,2),另一个方向向量为(x,y,8),则x=,y=.?

7.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为.?

8.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AD,BC的中点,设BC=a,BD=b,BA=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,求直线EF的一个方向向量.

B级关键能力提升练

9.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则下列结论正确的是()

A.AP⊥AB

B.AP⊥AD

C.AP是平面ABCD的一个法向量

D.AP

10.(多选题)已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1),若c为平面α的一个法向量,则 ()

A.m=-1 B.m=1

C.n=2 D.n=-2

11.(多选题)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是 ()

A.1 B.-1 C.3 D.-3

12.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量是平面PAB的法向量的是()

A.1,1,12

B.(1,2,1)

C.(1,1,1)

D.(2,-2,1)

13.已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上,存在一点E,使得OE⊥b(O为原点),则E点的坐标为.?

14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证:AE是平面A1D1F的一个法向量.

C级学科素养创新练

15.已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则直线OA的一个方向向量为,点P的坐标满足的条件为.?

参考答案

6.3空间向量的应用

6.3.1直线的方向向量与平面的法向量

1.BAB=(3,0,-2)=13

2.C显然a与b不平行,设平面的法向量为n=(x,y,z),

则有a

当z=1时,x=-2,y=1,n=(-2,1,1).

当z=-1时,x=2,y=-1,n=(2,-1,-1).故选C.

3.ABC由题意知PA⊥平面ABCD,

所以PA与

又因为菱形的对角线互相垂直,

可推得对角线BD⊥平面PAC,

故PC⊥

PC显然不垂直于AB,D错误.

4.B对于A,AP=(-1,0,-1),则n·AP≠0,

对于B,AQ=-1,4,-12,则n·AQ=(3,1,2)·-1,4,-12=0,∴n⊥AQ,则点Q1,3,32在平面α内;

对于C,AM=-1,-2,-12,则n·AM≠0.∴

对于D,AN=-3,4,-72,则n·AN≠0,∴

5.x-3y-5z+9=0∵PM=(·

6.-2012∵直线的方向向量平行,∴-

∴x=-20,y=12.

7.(1,1,1)(答案不唯一)由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以DB1=(1,1,1),即直线DB

8.解EF

=12(

=12BC-12

故直线EF的一个方向向量为12a-12b-

9.ABC∵AB·AP=0,AD·AP=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP,则A,B正确;又AB与AD不