2024秋高中数学1.4充分条件与必要条件教材例题课后习题新人教A版必修第一册.docVIP

第一章集合与常用逻辑用语

1.4充分条件与必要条件

例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

（3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直；

（4）若，则；

（5）若，则；

（6）若x，y为无理数，则为无理数.

解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件.

（2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件.

（3）这是一条菱形的性质定理，，所以p是q的充分条件.

（4）由于，但，，所以p不是q的充分条件.

（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件

（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件.

例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；

（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；

（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；

（4）若，则；

（5）若，则；

（6）若为无理数，则x，y为无理数.

解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.

（2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.

（3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件.

（4）显然，，所以，q是p必要条件.

（5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件.

（6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件.

例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；

（3）p：，q：，；

（4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）.

解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.

（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件.

（3）因为时，，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.

（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件.

例4已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件.

分析：设p：，q：直线l与相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可.

证明：设p：，q：直线l与相切.

（1）充分性（）：如图1.4-2，作于点P，则.若，则点P在上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接.在中，.所以，除点P外直线l上的点都在的外部，即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切.

（2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则.因此，.

由（1）（2）可得，是直线l与相切的充要条件.

1.4.1充分条件与必要条件

练习

1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；

（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；

（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.

【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件

【解析】

【分析】

根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案.

【详解】（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件；

（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件；

（3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件.

【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题.

2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；

（2）若x是无理数，则也是无理数.

【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q不是p的必要条件

【解析】

【分析】

根据所给命题，判断出能否得到，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案.

【详解】（1）这是圆的切线定义，，所以q是p的必要条件；

（2）由于是无理数，但不是无理数，，

所以q不是p的必要条件.

【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题.

3.如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.

【答案】充分条件和必要条件见解析

【解析】

【分析】

根据可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到.

【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补