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高考中的染色问题的解题策略
安庆市自然
科学论文
高考数学中的染色问题的解题策略
安徽省太湖县牛镇高中黄军华
摘要:本文从高中数学中的分类讨论思想和构造转化思想入手~探讨了高考数
学中的热点题材——染色问题的基本解题策略
关键词:分类讨论思想构造思想染色思想
近几年来,数学高考以能力立意来命题,每年都出现一批立意独特、情景新颖
脱俗的有关染色问题的试题。染色问题常以生活实际为背景,其背景公平,突出了
数学思维能力和学习潜能的考查,是高考的热点素材之一,但是学生解答并不理
想,症结在哪里呢,
(1)对问题的背景不熟悉,染色问题情景生动有趣,虽然源于生活实际,但学
生的阅历浅,从未见过,更无具体模式可套,因此倍觉破题困难;
(2)不能正确地选好分类标准和优化分类顺序;
(3)不能正确地将染色问题模型化、构造转化为熟悉的数学问题。
针对染色问题的特点和学生解答染色问题时存在的问题,下面本文将从两方面
入手谈谈染色问题的常用解题策略。
1、选好分类标准,优化分类顺序的策略
分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题所给对象不能进行统一研究时,
就需要对研究的对象进行分类,将整体问题划分为局部问题,把复杂问题转化为单
一问题,然后分而治之、各个击破,最后综合各类的结果得到整个问题的解答。因
此,采用分类策略解答染色问题时,我们可以从三个方面入手考虑:
1.1从确定染色顺序入手
根据染色问题的要求,先确定好区域的染色顺序,对各个区域分步染色,再由
乘法原理计算出染色的种数,是处理这类问题最基本的方法。
例1如图(1)所示,用五种不同的颜色分别为A、B、C、D、E五部分染色,相
邻区域不能用同一种颜色,但同一种颜色可以反复使用,也可不使用,求符合这种
要求的不同染色方法的种数。
分析:按照分步计数原理,先为A染色共有5种,
再为B染色有4种(不能与A同色),接着为C染色有3种(不与A、
B同色),同理依次为D、E染色各有3种,所以不同染色方法的种数为
35×4×3=540(种)
1.2从使用颜色的种类入手
按照染色问题中的题设要求,从使用了多少种颜色分类讨论入手,分别计算出
各种情形的种类,再用分类计数原理求出不同的染色方法的种数。
例2(2007年天津市理科高考题)
如图(2)所示,用6种不同的颜色给图中的四个格子染色,每个格子涂一种颜
色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的染色方法的种数
共有多少种,
解析:要给图中的四个区域染色,可用2种或3种颜色完成染色任务,故需分
成两类:
(1)用2种颜色染色,必有A与C,B与D同色,故不同
22的染色方法有=30种;CA62
(2)用3种颜色对四个区域染色,必有一对不相邻区域要涂成同
种颜色,此时必有A与C或A与D或B与D中之一同色,所以不同
313的染色方法总数为C=360种;CA363
综上可知,不同的染色方法共有390种。
1.3从相对区域是否同色入手
从某两个不相邻区域同色与不同色入手,分别计算出两种情形的种数,再用分
类计数原理求出不同的染色方法的种类。
例3如图(3)所示,一个地区分为5个行政区域,现给地图染色,要求相邻区
域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,那么不同的染色方法共有多少种,
分析:要涂5个行政区域,可用3种颜色,也可用4种颜色,故需分
成两类,由于颜色数少于区域数,那么不相邻的区域可能要涂成同色,
因此要先对不相邻区域3、5或2、4染色,再染余下的,故需分步完
成。
解析:先分类讨论,再分步染色。
3311(1)若区域3与5同色有种染色方法,区域2、1、4不同色共有A种方
法,共有A=24CC3344(种);
31同理,区域2和4同色,区域3、1、5不同色,共有A=24(种)C34
11C(2)若区域3与5同色有种染色方法,区域2和4也同色有种染色方法,则
区域1可在C34
1111C余下的两种颜色中任选一种有种选法,此时染色方法有=24(种)CCC3242
综上可知,不同染色方法共有
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