2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：16　第四章　高考命题探源(一).docxVIP

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探源1数列的概念及表示方法

[命题点分析]数列的概念及表示是高考的常考考点，主要考查等差数列、等比数列的基本概念，数列的函数特性(最大(小)项、周期性、增减性)，Sn与an的关系等，多以选择题、填空题的形式呈现，属于中低档题．

【案例1】(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________．

7[因为数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，所以(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＋(a14＋a16)＝5＋17＋29＋41＝92.当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)，所以当k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝a1＋2＋8＋14＋…＋[6(k－1)－4]＝a1＋2+6k-10k-12＝a1＋(3k－4)(k－1)，当k＝1时上式也成立，所以a2k－1＝a1＋(3k－4)(k－1)(k∈N*)，即a2k－1＝a1＋3k2－7k＋4(k

法一：所以a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a15＝8a1＋3×(12＋22＋32＋…＋82)－7×(1＋2＋3＋…＋8)＋4×8＝8a1＋3×8×8+1×2×8+16－7×1+8×82＋32＝8a1＋612－252＋32＝8a1＋392.又前16项和为540，所以92＋8a1＋392＝

法二：所以a2k－1＝a1＋(3k2＋3k＋1)－10k＋3＝a_1)＋[(k＋1)3－k3]－10k＋3，所以a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a15＝8a1＋(23－13)＋(33－23)＋…＋(93－83)－10×1+8×82＋3×8＝8a1＋93－13－360＋24＝8a1＋392.又前16项和为540，所以92＋8a1＋392＝540，解得a

[考题来源]本考题来源于教材复习参考题4第10题，高考题和教材复习参考题都是以数列的递推公式为载体，根据n为奇数和偶数进行讨论求解数列中的项，难度高于教材，属于难题．

[试题评价]已知数列的递推关系式中含有-1n，根据n为奇数和偶数进行讨论，这是处理同类问题的常用方法．本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的分组、并项求和

探源2等差数列

[命题点分析]等差数列是高考的重点，一是考查利用等差数列的通项公式、前n项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低档题；二是考查等差数列的证明、等差数列的性质、等差中项、通项公式及前n项和的最大(小)值等问题，多以解答题的形式呈现，属于中档题．

【案例2】(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________

2[由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3·(a1＋a2)＋6，

化简得2a3＝a1＋a2＋6，

即2a1+2d＝2a1＋d＋6，解得

[考题来源]本题来源于教材习题4.2第1题，高考题和教材习题都是以等差数列为载体，考查等差数列中基本量的计算，难度稍高于教材．

[试题评价]教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“源泉”，是高考试题的重要知识载体，本考题通过等差数列前n项和之间的关系来考查等差数列的通项公式及性质，体现了数学运算的核心素养，属于容易题．

【案例3】(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝an-6，n为奇数，2an，n为偶数．记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前

(1)求{an}的通项公式；

(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn.

[解](1)设等差数列{an}的公差为d.

因为bn＝a

所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.

因为S4＝32，T3＝16，所以

4a

整理，得2a1

所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.

(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，

所以Sn＝n5+2n+32＝n

bn＝2

当n为奇数时，

Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝n+12-1+2

当n＞5时，Tn－Sn＝3n2+5n-102－(n2＋4n)＝

所以Tn＞Sn.

当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝n2-1+2n

当n＞5时，Tn－Sn＝3n2+7n2－(n2＋4n)＝n