2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：31　第五章　高考命题探源(二).docxVIP

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探源1导数的概念及其几何意义

[命题点分析]本部分内容从近几年高考考查情况来看，特别是全国卷，每年都考查函数图象的切线问题，在强调导数的几何意义的前提下考查导数运算及方程、不等式等问题，主要体现方程思想和数形结合思想，对逻辑推理与数学运算素养要求较高．

【案例1】(2023·全国甲卷)曲线y＝exx+1在点1，e

A．y＝e4x B．y＝e

C．y＝e4x＋e4 D．y＝e2

C[由题意可知y′＝exx+1-ex·1x+12＝xexx+12，则曲线y＝exx+1在点1，e2处的切线斜率k＝e4，所以曲线y＝exx+1在点

[考题来源]本题来源于教材习题5.2第5题，题目命题模式与习题完全一致，都是求切线方程的题目，难度相当．

[试题评价]本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，体现了数学运算的学科素养，属于基础题．

【案例2】(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．

(－∞，－4)∪(0，＋∞)[∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，

设切点为(x0，y0)，则y0＝x0+aex0

切线方程为y-x0+aex0＝x0+1+a

∵切线过原点，

∴-x0+aex0＝x

整理得x02＋ax0－a＝

∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，

∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．]

[考题来源]本题来源于教材习题5.2第11题，题目命题模式与习题相仿，都是求解参数的题目，教材习题是根据已知条件求曲线在一点处的切线斜率，进而求参数的值，高考题考查了过一点的切线方程，求参数的取值范围，难度系数比教材习题要高，考查能力要求较高．

[试题评价]本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，尤其加强了对过一点和在一点的切线求解的易错点的考查，着重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养，难度中等．

探源2用导数解决函数的单调性、极值、最值问题

[命题点分析]从高考的考查情况来看，利用导数研究函数的单调性是导数最为核心的部分，是高考考查的热点．函数单调性的探讨，一般就是研究一元二次不等式，特别是含参一元二次不等式，能充分考查数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想及转化与化归思想，内涵极为丰富，使得探讨函数的单调性成为命题专家最为青睐的部分．高考常考查的形式：(1)利用导数求函数的单调区间、讨论函数的单调性及由函数的单调性求参数的范围；(2)利用函数的单调性比较大小、证明不等式、判断函数零点的个数；(3)求函数的极值，利用极值解决最值或求参数的值与参数的范围．主要考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，难度较大．

【案例3】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为()

A．e2 B．e

C．e-1 D．e-2

C[因为函数f(x)＝aex－lnx，所以f′(x)＝aex－1x.因为函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－1x≥0在(1，2)恒成立，易知a0，则01a≤xex在(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(1，2)时，g′(x)0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)g(1)＝e，所以1a≤e，即a≥1e

[考题来源]本题来源于教材第94页“当x＞0时，1－1x≤lnx”

[试题评价]试题以单调性为背景，考查导数的应用和不等式的综合运用，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养以及转化与化归的能力，属于基础题．

【案例4】(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1x2，则a的取值范围是________．

1e，1[由题意可知f′(x)＝2lna·ax－

因为x1，x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2的极小值点和极大值点，

所以函数f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，

所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)0，

当a1，x0时，2lna·ax0，2ex0，

此时f′(x)0，与前面矛盾，

故a1不符合题意．

当0a1时，

则方程2lna·ax－2ex＝0的两个根为x1，x2，

即方程lna·ax＝ex的两个根为x1，x2，

即函数y＝lna·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点，

令g(x)＝lna·ax，则g′(x)