空间图形的体积(1)课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册.pptxVIP

13.3.2空间图形的体积(1)

问题1：以下两个等底等高的图形面积有什么关系ah我们发现，用平行于底边的任意直线去截这两个图形，截得的两条线段始终相等，那这个条件是否是两个图形面积相等的充要条件呢？平面图形等积定理把平面图形拓展到几何体，这个结论还成立吗？活动一探究柱、锥、台的体积计算公式

探索与发现：数学小实验取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？想一想刚刚讨论的平面图形等积定理，你能否类比归纳得出立体几何的等积定理呢？

立体几何等积定理：祖暅原理夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等。

祖暅（５世纪—６世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡遒县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家．祖暅在数学上做出了突出贡献，他在实践的基础上，于５世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．“势”即是高，“幂”是面积，祖暅原理用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．

卡瓦列利原理祖暅原理在西方文献中被称为“卡瓦列利”原理，1653年意大利数学家卡瓦列利独立提出，对微积分的建立有重要影响，以长方体体积公式和祖暅原理为基础，可以求出柱、锥、台、球等的体积，但是祖暅原理的提出比西方这位科学家早了至少1100年

“幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。前后体积不变底面积和高都相等的棱柱，其体积也相等祖暅原理

棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积．

问题2：在锥体中，底面积相等的几何体在等高处的截面积是否相等呢？两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。底面积和高都相等的棱锥，其体积也相等

问题3：棱锥的体积是？棱柱与棱锥体积之间有什么关系呢？将三棱柱分割成3个小三棱锥，由等底等高易证得V1=V2=V3

问题4：棱台的体积又如何计算呢？

几何体体积说明圆柱V圆柱＝＝_____是底面圆半径，是底面积，是高圆锥V圆锥＝＝______是底面圆半径，是底面积，是高圆台=分别是上、下底面圆半径，是上底面积，是下底面积，是高

活动二会求一些简单空间图形的体积例有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图)共重6kg.已知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度是7.8g/cm3)

用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．

已知一个铜质的五棱柱，底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少？(不计损耗)【解析】由题意，得V＝16×4＝64(cm3).设正方体铜块的棱长为acm，则a3＝64，解得a＝4，即铸成的铜块的棱长为4cm.

随堂检测

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12345【答案】A

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12345【答案】B

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12345【答案】BC

123454．在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为6的等边三角形，PA＝6，PB＝8，PC＝10，则该三棱锥的体积为________．

123455．龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内倒入水，当水深5cm时，盆内水的体积大约为多少？

12345【解析】如图1，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC，FD，交于点G，如图2.根据题意知，AB＝18cm，CD＝9cm，AC＝15cm，EC＝5cm.设CG＝xcm，EF＝ycm，图1图2