高考文科数学二轮总复习课后习题 考点突破练19 利用导数证明问题.docVIP

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考点突破练19利用导数证明问题

1.(广西玉林三模)设函数f(x)=(x+a)lnx+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-2=0.

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)证明:f(

2.已知函数f(x)=ex-(x+1)2.

(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)对于任意x1,x2,证明:若x1x2,则f(x1)-f(x2)2x2-2x1.

3.(四川自贡三模)已知函数f(x)=(x-2)ex+x+2(e为自然对数的底数).

(1)判断x∈[0,+∞),f(x)的单调性并说明理由;

(2)证明:对?n∈N*,lnn+113

4.(陕西西安一模)已知函数f(x)=ex-a(x2+x)-1,x∈(0,+∞).

(1)若a=0,证明:f(2n.

5.(四川凉山二模)已知函数f(x)=alnx-x2-1

(1)当a=52

(2)若函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1x2),证明:2x2-2x1-alnx2+alnx10.

6.已知函数f(x)=(20.

(1)讨论函数g(≥1,证明:当x0时,g(x)≥f(x).

考点突破练19利用导数证明问题

1.(1)解∵f(x)=lnx+1+ax

∴f(1)=1+a=-1,∴a=-2,

又点(1,f(1))在切线x+y-2=0上,∴1+b-2=0,∴b=1,∴y=f(x)的解析式为f(x)=(x-2)lnx+1.

(2)证明由结论ex≥x+1(证明略),得x-ex≤-1,∴要证f(

即证f(x)-1x-ex,

即证f(x)-1-1,即证f(x)0.

由(1)知f(x)=lnx+1-2x,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=-10,f(2)=ln20,∴存在x0∈(1,2)使得f(x0

当0xx0时,f(x)0,f(x)单调递减;当xx0时,f(x)0,f(x)单调递增;

故f(x)在x0处取到极小值,也是最小值.由f(x0)=0,得lnx0=2x0-1,∴f(x)≥f(x0)=(x0-2)lnx0+1=(x0-2)2x0-1+1=5-x0+4x

令r(x)=x+4x

∴r(x)r(1)=5,于是f(x)≥5-x0+4x05-5=0.

综上,对任意x∈(0,+∞),f(

2.(1)解f(x)=ex-2x-2,

所以k=f(-1)=1e

因为f(-1)=1e,所以切点坐标为-1,1e,所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-1e=

(2)证明设G(x)=f(x)+2x=ex-x2-1,则G(x)=ex-2x.

令H(x)=ex-2x,则H(x)=ex-2,则H(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,故H(x)≥H(ln2)=2-2ln20,即G(x)=ex-2x0,所以G(x)在R上单调递增,所以对于任意x1,x2,若x1x2,则G(x1)G(x2),即f(x1)-f(x2)2x2-2x1.

3.(1)解f(x)在[0,+∞)上单调递增.理由如下:

∵f(x)=(x-2)ex+x+2,

∴f(x)=(x-1)ex+1,

令g(x)=(x-1)ex+1,则g(x)=xex,

∴当x∈[0,+∞)时,g(x)≥0,g(x)单调递增,

∴g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥0,

∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.

(2)证明由(1)知x∈(0,+∞),f(x)=(x-2)ex+x+2f(0)=0,

∴x2(

令x=lnt(t1),则lnt2(

令t=n+1n(n∈N*),则lnn+1

∴ln21+ln32+ln43+…+lnn+1n213

而ln21+ln32+ln43

∴ln(n+1)213+15+…+12n+1,故对?n∈N*,lnn+1

4.证明(1)因为a=0,所以f(x)sinx等价于ex-sinx-10.

令g(x)=ex-sinx-1,x∈(0,+∞),则g(x)=ex-cosx.

当x≥0时,ex≥1,cosx≤1,则g(x)≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增.

当x0时,g(x)g(0)=0,故ex-sinx-10,即f(x)sinx.

(2)因为a=1,所以f(x)=ex-x2-x-1,x∈(0,+∞),则f(x)=ex-2x-1.

令h(x)=ex-2x-1,x∈(0,+∞),则h(x)=ex-2.

当x∈(0,ln2)时,h(x)0,h(x)单调递减,当x∈(ln2,+∞)时,h(x)0,h(x)单调递增.

因为h(0)=0,h(ln2)=1-2ln20,h(2)=e2-50,

所以n∈(ln2,2),f(n)=0.

当x∈(0,n)时,f(x)=h